Considere a tabela
x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
e^{3 x} 1 1.3499 1.8221 2.4596 3.3201 4.4817
(a) Calcule f(0.25), onde f(x)=x e^{3 x} usando um polinômio de interpolação de grau 2 e a fórmula de Lagrange. Compare com o valor exato de \mathrm{f}(0.25). Há quantos dígitos significativos corretos?
Resposta: p_{2}(x)=10.83 x^{2}-1.68 x+0.2672
f(0.25) \approx p_{2}(0.25)=0.5241
(b) Calcule um limitante superior para o erro.
Resposta: |E(0.25)| \leq 0.0078 \approx 8 \times 10^{-3}

Passo 1

O enunciado dá a tabela (peguei estes números da tabela fornecida):
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} x & 0 & 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}3 & 0{,}4 & 0{,}5\\hline e^{3x} & 1 & 1{,}3499 & 1{,}8221 & 2{,}4596 & 3{,}3201 & 4{,}4817 \end{array}
A função é f(x)=x e^{3x}.
O que o enunciado pede:
(a) Calcular f(0,25) aproximando f por um polinômio interpolador de grau 2 (fórmula de Lagrange), comparar com o valor exato de f(0,25) e dizer quantos dígitos significativos estão corretos.
(b) Calcular um limitante superior para o erro |E(0,25)| do interpolador de grau 2.

Passo 2

Escolha dos pontos de interpolação (escolha importante): como queremos f(0,25), é natural usar três nós próximos que cercam 0,25. Vou usar os nós
x_0=0{,}2,\quad x_1=0{,}3,\quad x_2=0{,}4,
porque estão próximos de 0,25 e os valores de e^{3x} nessas abscissas estão na tabela.
Lembrete (fórmula de Lagrange, explicada): o polinômio interpolador de grau 2 é
p_2(x)=\sum_{k=0}^{2} f(x_k)\,L_k(x),
onde cada polinômio-base L_k(x) vale
L_k(x)=\prod_{\substack{j=0\\\ j\neq k}}^{2}\frac{x-x_j}{x_k-x_j}.
Aqui L_k(x) é o polinômio que vale 1 em x_k e 0 nos outros nós; multiplicando por f(x_k) e somando obtemos o interpolador. As variáveis significam: x é o ponto genérico, x_k são os nós e f(x_k) são os valores conhecidos da função nesses nós.

Passo 3

Calcular f nos nós usando a tabela (peguei e^{3x} da tabela):
\begin{aligned} f(0{,}2)&=0{,}2\cdot e^{3\cdot 0{,}2}=0{,}2\cdot 1{,}8221=0{,}36442,\\\ f(0{,}3)&=0{,}3\cdot e^{3\cdot 0{,}3}=0{,}3\cdot 2{,}4596=0{,}73788,\\\ f(0{,}4)&=0{,}4\cdot e^{3\cdot 0{,}4}=0{,}4\cdot 3{,}3201=1{,}32804. \end{aligned}

Passo 4

Calcular os polinômios-base L_k(x) com x_0=0{,}2,\;x_1=0{,}3,\;x_2=0{,}4.
Denominadores e simplificações:
\begin{aligned} L_0(x)&=\frac{(x-0{,}3)(x-0{,}4)}{(0{,}2-0{,}3)(0{,}2-0{,}4)} =\frac{(x-0{,}3)(x-0{,}4)}{(-0{,}1)(-0{,}2)}=\frac{(x-0{,}3)(x-0{,}4)}{0{,}02}=50(x-0{,}3)(x-0{,}4),\\[4pt] L_1(x)&=\frac{(x-0{,}2)(x-0{,}4)}{(0{,}3-0{,}2)(0{,}3-0{,}4)} =\frac{(x-0{,}2)(x-0{,}4)}{(0{,}1)(-0{,}1)}=\frac{(x-0{,}2)(x-0{,}4)}{-0{,}01}=-100(x-0{,}2)(x-0{,}4),\\[4pt] L_2(x)&=\frac{(x-0{,}2)(x-0{,}3)}{(0{,}4-0{,}2)(0{,}4-0{,}3)} =\frac{(x-0{,}2)(x-0{,}3)}{(0{,}2)(0{,}1)}=\frac{(x-0{,}2)(x-0{,}3)}{0{,}02}=50(x-0{,}2)(x-0{,}3). \end{aligned}]

Passo 5

Construir p_2(x)=f(0{,}2)L_0(x)+f(0{,}3)L_1(x)+f(0{,}4)L_2(x) e expandir para obter os coeficientes.
Primeiro expando cada termo (para ficar bem “mastigado”):
\begin{aligned} f(0{,}2)L_0(x)&=0{,}36442\cdot 50\,(x-0{,}3)(x-0{,}4) =18{,}221\bigl(x^2-0{,}7x+0{,}12\bigr)\\\ &=18{,}221x^2-12{,}7547x+2{,}18652,\\[4pt] f(0{,}3)L_1(x)&=0{,}73788\cdot(-100)\,(x-0{,}2)(x-0{,}4) =-73{,}788\bigl(x^2-0{,}6x+0{,}08\bigr)\\\ &=-73{,}788x^2+44{,}2728x-5{,}90304,\\[4pt] f(0{,}4)L_2(x)&=1{,}32804\cdot 50\,(x-0{,}2)(x-0{,}3) =66{,}402\bigl(x^2-0{,}5x+0{,}06\bigr)\\\ &=66{,}402x^2-33{,}201x+3{,}98412. \end{aligned}
Agora somo os três termos coeficiente a coeficiente:
\begin{aligned} \text{coeficiente de }x^2 &: \;18{,}221-73{,}788+66{,}402=10{,}835\approx 10{,}83,\\[2pt] \text{coeficiente de }x &: \;-12{,}7547+44{,}2728-33{,}201=-1{,}6829\approx -1{,}68,\\[2pt] \text{termo constante} &: \;2{,}18652-5{,}90304+3{,}98412=0{,}2676\approx 0{,}2672\\ (\text{arred.}). \end{aligned}
Portanto (arredondando como no enunciado)
p_2(x)=10{,}83\,x^2-1{,}68\,x+0{,}2672.]

Passo 6

Avaliar p_2 em x=0{,}25:
\begin{aligned} p_2(0{,}25)&=10{,}83\cdot(0{,}25)^2-1{,}68\cdot 0{,}25+0{,}2672\\\ &=10{,}83\cdot 0{,}0625-0{,}42+0{,}2672\\\ &=0{,}676875-0{,}42+0{,}2672=0{,}524075\approx 0{,}5241. \end{aligned}
Valor “exato” (avaliado diretamente na função):
f(0{,}25)=0{,}25\cdot e^{3\cdot 0{,}25}=0{,}25\cdot e^{0{,}75}\approx 0{,}25\cdot 2{,}1170000166=0{,}5292500042\approx 0{,}52925.
Erro absoluto real:
|f(0{,}25)-p_2(0{,}25)|\approx |0{,}52925-0{,}524075|=0{,}005175\approx 5{,}175\times 10^{-3}.
Erro relativo:
\frac{|f(0{,}25)-p_2(0{,}25)|}{|f(0{,}25)|}\approx\frac{0{,}005175}{0{,}52925}\approx 0{,}00978\approx 9{,}78\times 10^{-3}.
Número de dígitos significativos corretos: usar d=\lfloor -\log_{10}(\text{erro relativo})\rfloor. Aqui -\log_{10}(9{,}78\times 10^{-3})\approx 2{,}01, logo d=2. Portanto há 2 algarismos significativos corretos (os dois primeiros dígitos significativos coincidem: 5 e 2 em 0{,}52\ldots).

Passo 7

Agora calcular um limitante superior para o erro usando a fórmula do resto de Lagrange (explicada): para interpolador de grau 2 com nós x_0,x_1,x_2, o resto em x é
E(x)=\frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}\,(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)
para algum \xi no intervalo que contém os nós e x. Assim um limitante é
|E(x)|\le \frac{M}{3!}\,\bigl| (x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)\bigr|,
onde M=\max_{t\in I}|f^{(3)}(t)| e I é um intervalo que contém os nós e x.

Passo 8

Calcular f^{(3)}(x) e escolher M.
Derivo f(x)=x e^{3x} passo a passo:
\begin{aligned} f'(x)&=e^{3x}+3x e^{3x}=e^{3x}(1+3x),\\\ f''(x)&=\frac{d}{dx}\bigl[e^{3x}(1+3x)\bigr]=3e^{3x}(1+3x)+3e^{3x}=e^{3x}(6+9x),\\\ f^{(3)}(x)&=\frac{d}{dx}\bigl[e^{3x}(6+9x)\bigr]=3e^{3x}(6+9x)+9e^{3x}=e^{3x}(27+27x)=27e^{3x}(1+x). \end{aligned}
No nosso intervalo I=[0{,}2,\,0{,}4] (contendo 0{,}25), f^{(3)}(x) é crescente (produto de coisas positivas crescentes), logo
M=\max_{t\in I} f^{(3)}(t)=f^{(3)}(0{,}4)=27\cdot e^{1{,}2}\cdot(1{,}4).
Usei e^{3\cdot 0{,}4}=e^{1{,}2}=3{,}3201 (peguei este valor da tabela). Assim
M=27\cdot 3{,}3201\cdot 1{,}4\approx 125{,}49978\approx 125{,}5.
Para x=0{,}25 o produto dos termos é
|(0{,}25-0{,}2)(0{,}25-0{,}3)(0{,}25-0{,}4)|=|0{,}05\cdot(-0{,}05)\cdot(-0{,}15)|=0{,}000375.
Logo o bound é
|E(0{,}25)|\le \frac{M}{3!}\cdot 0{,}000375=\frac{125{,}49978}{6}\cdot 0{,}000375 =125{,}49978\cdot 0{,}0000625\approx 0{,}007843736\approx 0{,}0078.
Isso confirma que o erro real 0{,}005175 está abaixo do limitante calculado \approx 0{,}0078.

Resposta

(a) p_{2}(0{,}25)\approx 0{,}5241,\quad f(0{,}25)\approx 0{,}52925. Dois dígitos significativos corretos.
(b) |E(0{,}25)|\le 0{,}007843736\approx 8\times 10^{-3}.

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