(a) Calcule f(0.25), onde f(x)=x e^{3 x} usando um polinômio de interpolação de grau 2 e a fórmula de Lagrange. Compare com o valor exato de \mathrm{f}(0.25). Há quantos dígitos significativos corretos?
Resposta: p_{2}(x)=10.83 x^{2}-1.68 x+0.2672
O que o enunciado pede:
(a) Calcular f(0,25) aproximando f por um polinômio interpolador de grau 2 (fórmula de Lagrange), comparar com o valor exato de f(0,25) e dizer quantos dígitos significativos estão corretos.
(b) Calcular um limitante superior para o erro |E(0,25)| do interpolador de grau 2.
Passo 2
Escolha dos pontos de interpolação (escolha importante): como queremos f(0,25), é natural usar três nós próximos que cercam 0,25. Vou usar os nós
x_0=0{,}2,\quad x_1=0{,}3,\quad x_2=0{,}4,
porque estão próximos de 0,25 e os valores de e^{3x} nessas abscissas estão na tabela.
Lembrete (fórmula de Lagrange, explicada): o polinômio interpolador de grau 2 é
Aqui L_k(x) é o polinômio que vale 1 em x_k e 0 nos outros nós; multiplicando por f(x_k) e somando obtemos o interpolador. As variáveis significam: x é o ponto genérico, x_k são os nós e f(x_k) são os valores conhecidos da função nesses nós.
Passo 3
Calcular f nos nós usando a tabela (peguei e^{3x} da tabela):
Número de dígitos significativos corretos: usar d=\lfloor -\log_{10}(\text{erro relativo})\rfloor. Aqui -\log_{10}(9{,}78\times 10^{-3})\approx 2{,}01, logo d=2. Portanto há 2 algarismos significativos corretos (os dois primeiros dígitos significativos coincidem: 5 e 2 em 0{,}52\ldots).
Passo 7
Agora calcular um limitante superior para o erro usando a fórmula do resto de Lagrange (explicada): para interpolador de grau 2 com nós x_0,x_1,x_2, o resto em x é