Prove que
43^{101}+23^{101} é divisível por 66 .

Passo 1

O problema pede para mostrar que
43^{101} + 23^{101}
é divisível por 66.
O conteúdo principal aqui é teoria de congruências: em particular, usaremos que se
a \equiv b \pmod{n}
então, para qualquer expoente inteiro k\ge1, vale
a^k \equiv b^k \pmod{n}.

Passo 2

Note que
43 + 23 = 66,
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43 \equiv -23 \pmod{66}.
Elevando essa congruência à potência 101, obtemos
43^{101} \equiv (-23)^{101} \pmod{66}.
Como 101 é ímpar, temos
(-23)^{101} = -\,23^{101},
portanto
43^{101} \equiv -\,23^{101} \pmod{66}.

Passo 3

Somando 23^{101} aos dois lados da congruência acima, vem
43^{101} + 23^{101} \equiv -\,23^{101} + 23^{101} = 0 \pmod{66}.
Isso significa exatamente que 66 divide 43^{101} + 23^{101}.

Resposta

O número 43^{101} + 23^{101} é divisível por 66.

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