Calcule
na qual o dígito 2 aparece 100 vezes.
Passo 1
O enunciado pede o valor da fração contínua finita
em que o dígito
aparece
vezes. Trata-se de um caso de fração contínua finita do tipo
onde
é o valor da parte de baixo com
ocorrências de
. Vamos identificar uma relação de recorrência para
e depois encontrar uma fórmula fechada.
Passo 2
Definimos
e para
temos a relação
Esse tipo de recorrência aparece sempre que construímos frações contínuas do tipo
.
Passo 3
Para resolver a recorrência, fazemos a mudança de variável
Então
e substituindo na relação de
:
Passo 4
Observamos o valor inicial
. A recorrência
gera a sequência
Por indução fica claro que
Logo
Passo 5
No nosso problema
, então
A fração original é