\bigcirc 1 Calcule
\frac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\ldots \frac{1}{2-\frac{1}{2}}}}}
na qual o dígito 2 aparece 100 vezes.

Passo 1

O enunciado pede o valor da fração contínua finita
\frac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\cdots \frac{1}{2-\frac{1}{2}}}}}
em que o dígito 2 aparece 100 vezes. Trata-se de um caso de fração contínua finita do tipo
\frac{1}{F_{100}},
onde
F_n = 2 - \frac{1}{2 - \frac{1}{\ddots - \frac{1}{2}}}
é o valor da parte de baixo com n ocorrências de 2. Vamos identificar uma relação de recorrência para F_n e depois encontrar uma fórmula fechada.

Passo 2

Definimos
F_1 = 2,
e para n\ge2 temos a relação
F_n \;=\; 2 \;-\;\frac{1}{F_{n-1}}.
Esse tipo de recorrência aparece sempre que construímos frações contínuas do tipo 2 - 1/(2 - \cdots).

Passo 3

Para resolver a recorrência, fazemos a mudança de variável
G_n = F_n - 1.
Então
F_n = 1 + G_n,
e substituindo na relação de F_n:
1 + G_n \;=\; 2 \;-\;\frac{1}{1+G_{n-1}} \quad\Longrightarrow\quad G_n \;=\; 1 - \frac{1}{1+G_{n-1}} =\frac{(1+G_{n-1})-1}{1+G_{n-1}} =\frac{G_{n-1}}{1+G_{n-1}}.

Passo 4

Observamos o valor inicial G_1 = F_1 - 1 = 2-1 = 1. A recorrência
G_n = \frac{G_{n-1}}{1+G_{n-1}}
gera a sequência
G_1 = 1,\quad G_2 = \frac{1}{1+1} = \tfrac12,\quad G_3 = \frac{\tfrac12}{1+\tfrac12} = \tfrac13,\quad G_4 = \tfrac14,\;\dots
Por indução fica claro que
G_n = \frac{1}{n}.
Logo
F_n = 1 + G_n = 1 + \frac{1}{n} = \frac{n+1}{n}.

Passo 5

No nosso problema n=100, então
F_{100} = \frac{101}{100}.
A fração original é
\frac{1}{F_{100}} = \frac{1}{\tfrac{101}{100}} = \frac{100}{101}.

Resposta

\displaystyle \frac{100}{101}

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