(a) Seja p(X)=a_{n} X_{n}+a_{n-1} X^{n-1}+\cdots+a_{2} X^{2}+a_{1} X+a_{0} um polinômio com coeficientes inteiros. Se a fração irredutível \frac{a}{b}, com a e b inteiros, é raiz de p(X), mostre que a é divisor de a_{0} e b é divisor de a_{n}.
(b) Encontre todas as raízes reais do polinômio
p(X)=2 X^{4}+x^{3}-7 X^{2}-3 X+3 .

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Na parte (a) precisamos provar o Teorema da Raiz Racional: se um polinômio
p(X)=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_{1}X+a_{0}
com coeficientes inteiros tem como raiz uma fração irredutível \tfrac{a}{b}, então \,a divide a_{0} e \,b divide a_{n}. Na parte (b) queremos encontrar todas as raízes reais do polinômio
p(X)=2X^{4}+X^{3}-7X^{2}-3X+3.
Para isso vamos usar o resultado da parte (a) para listar candidatos racionais, testar cada um via valor de p(X) e depois fatorar.

Passo 2

Prova de que a\mid a_{0}. Suponha que \tfrac{a}{b} (com \gcd(a,b)=1) seja raiz de p. Então
0=p\bigl(\tfrac{a}{b}\bigr) =a_{n}\bigl(\tfrac{a}{b}\bigr)^{n}+a_{n-1}\bigl(\tfrac{a}{b}\bigr)^{n-1}+\cdots+a_{1}\tfrac{a}{b}+a_{0}.
Multiplicando ambos os lados por b^{n} obtemos
a_{n}a^{n}+a_{n-1}a^{n-1}b+\cdots+a_{1}a\,b^{n-1}+a_{0}b^{n}=0.
Nos cinco primeiros termos cada parcela é múltipla de a, logo todo o lado esquerdo menos a_{0}b^{n} é divisível por a. Como a soma é zero, concluímos que
a\mid a_{0}b^{n}.
Mas \gcd(a,b)=1, então a\mid a_{0}.

Passo 3

Prova de que b\mid a_{n}. A mesma igualdade
a_{n}a^{n}+a_{n-1}a^{n-1}b+\cdots+a_{1}a\,b^{n-1}+a_{0}b^{n}=0
mostra que todos os termos, exceto a_{n}a^{n}, são múltiplos de b. Assim
a_{n}a^{n}\equiv 0\pmod b
e, pelo fato de \gcd(a,b)=1, segue que b\mid a_{n}. Isso completa a prova do Teorema da Raiz Racional.

Passo 4

Para a parte (b) aplicamos o Teorema da Raiz Racional. Aqui a_{n}=2 e a_{0}=3. Os candidatos a raízes racionais são
\pm\frac{\text{divisores de }3}{\text{divisores de }2} =\pm1,\\ \pm3,\\ \pm\tfrac12,\\ \pm\tfrac32.

Passo 5

Testando:
p(-1)=2(-1)^{4}+(-1)^{3}-7(-1)^{2}-3(-1)+3=2-1-7+3+3=0,
logo X+1 é fator. Fazendo divisão sintética de p(X) por X+1 obtém-se
p(X)=(X+1)\bigl(2X^{3}-X^{2}-6X+3\bigr).
Em seguida testamos X=\tfrac12 no cúbico:
2\bigl(\tfrac12\bigr)^{3}-\bigl(\tfrac12\bigr)^{2}-6\bigl(\tfrac12\bigr)+3 =\tfrac14-\tfrac14-3+3=0,
logo 2X-1 é fator de 2X^{3}-X^{2}-6X+3. Dividindo, fica
2X^{3}-X^{2}-6X+3=(2X-1)(2X^{2}-6).

Passo 6

O polinômio completo fatorou-se como
p(X)=(X+1)(2X-1)(2X^{2}-6).
E como
2X^{2}-6=2\bigl(X^{2}-3\bigr)=2(X-\sqrt{3})(X+\sqrt{3}),
as raízes reais são
X=-1,\quad X=\tfrac12,\quad X=\sqrt{3},\quad X=-\sqrt{3}.

Resposta

(a) Se \tfrac{a}{b} é raiz irredutível de p(X), então a\mid a_{0} e b\mid a_{n}.
(b) As raízes reais de 2X^{4}+X^{3}-7X^{2}-3X+3 são
-1,\quad \tfrac12,\quad \sqrt{3},\quad -\sqrt{3}.

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