(a) Seja
um polinômio com coeficientes inteiros. Se a fração irredutível
, com
e
inteiros, é raiz de
, mostre que a é divisor de
e
é divisor de
.
(b) Encontre todas as raízes reais do polinômio
(b) Encontre todas as raízes reais do polinômio
Passo 1
O enunciado tem duas partes. Na parte (a) precisamos provar o Teorema da Raiz Racional: se um polinômio
com coeficientes inteiros tem como raiz uma fração irredutível
, então
divide
e
divide
. Na parte (b) queremos encontrar todas as raízes reais do polinômio
Para isso vamos usar o resultado da parte (a) para listar candidatos racionais, testar cada um via valor de
e depois fatorar.
Passo 2
Prova de que
. Suponha que
(com
) seja raiz de
. Então
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Nos cinco primeiros termos cada parcela é múltipla de
, logo todo o lado esquerdo menos
é divisível por
. Como a soma é zero, concluímos que
Mas
, então
.
Passo 3
Prova de que
. A mesma igualdade
mostra que todos os termos, exceto
, são múltiplos de
. Assim
e, pelo fato de
, segue que
. Isso completa a prova do Teorema da Raiz Racional.
Passo 4
Para a parte (b) aplicamos o Teorema da Raiz Racional. Aqui
e
. Os candidatos a raízes racionais são
Passo 5
Testando:
logo
é fator. Fazendo divisão sintética de
por
obtém-se
Em seguida testamos
no cúbico:
logo
é fator de
. Dividindo, fica
Passo 6
O polinômio completo fatorou-se como
E como
as raízes reais são
Resposta
(a) Se
é raiz irredutível de
, então
e
.
(b) As raízes reais de são
(b) As raízes reais de