e pede para traçar seu gráfico e determinar sua imagem (alcance). O conteúdo envolve funções definidas por partes via o operador máximo; vamos precisar achar o ponto em que as duas expressões se igualam e, em seguida, identificar qual ramo domina de cada lado.
Passo 2
Encontre o ponto de troca resolvendo
4x-2 = -x+8.
Somando x e somando 2 em ambos os lados, vem
5x = 10 \quad\Longrightarrow\quad x=2.
Substituindo em qualquer expressão, obtemos
y = 4\cdot2 - 2 = 8 - 2 = 6.
Logo, as duas retas se cruzam em (2,6).
Passo 3
Determine qual expressão é maior em cada região:
Para x<2, por exemplo em x=0,
4\cdot0-2 = -2,\quad -0+8=8,
portanto -x+8 domina. Para x>2, por exemplo em x=3,
Para x\le2, é a reta de inclinação -1 que em x=0 vale 8, chegando em (2,6).
Para x\ge2, é a reta de inclinação 4 que em x=0 valeria -2, mas só usamos de (2,6) em diante.
As duas retas se unem continuamente em (2,6), formando um “V” aberto para cima.
Passo 5
Calcule a imagem:
No ramo y=-x+8 com x\le2, quando x\to -\infty tem y\to +\infty e em x=2 vale 6.
No ramo y=4x-2 com x\ge2, em x=2 vale 6 e para x\to +\infty tem y\to +\infty.
Portanto os valores de f vão de 6 até +\infty.