\bigcirc 2 Faça o gráfico e determine a imagem da função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} tal que
f(x)=\max (4 x-2,-x+8)

Passo 1

O enunciado define a função
f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad f(x)=\max\bigl(4x-2,\,-x+8\bigr)
e pede para traçar seu gráfico e determinar sua imagem (alcance). O conteúdo envolve funções definidas por partes via o operador máximo; vamos precisar achar o ponto em que as duas expressões se igualam e, em seguida, identificar qual ramo domina de cada lado.

Passo 2

Encontre o ponto de troca resolvendo
4x-2 = -x+8.
Somando x e somando 2 em ambos os lados, vem
5x = 10 \quad\Longrightarrow\quad x=2.
Substituindo em qualquer expressão, obtemos
y = 4\cdot2 - 2 = 8 - 2 = 6.
Logo, as duas retas se cruzam em (2,6).

Passo 3

Determine qual expressão é maior em cada região:
Para x<2, por exemplo em x=0,
4\cdot0-2 = -2,\quad -0+8=8,
portanto -x+8 domina. Para x>2, por exemplo em x=3,
4\cdot3-2 = 10,\quad -3+8=5,
logo 4x-2 domina. Concluímos que
f(x)= \begin{cases} -x+8, & x\le2,\\\\ 4x-2, & x\ge2. \end{cases}

Passo 4

Descrição do gráfico:
  • Para x\le2, é a reta de inclinação -1 que em x=0 vale 8, chegando em (2,6).
  • Para x\ge2, é a reta de inclinação 4 que em x=0 valeria -2, mas só usamos de (2,6) em diante.
    As duas retas se unem continuamente em (2,6), formando um “V” aberto para cima.

Passo 5

Calcule a imagem:
  • No ramo y=-x+8 com x\le2, quando x\to -\infty tem y\to +\infty e em x=2 vale 6.
  • No ramo y=4x-2 com x\ge2, em x=2 vale 6 e para x\to +\infty tem y\to +\infty.
    Portanto os valores de f vão de 6 até +\infty.

Resposta

A imagem de f é [6,\infty).

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