Uma formiga está parada sobre um dos vértices de um cubo de madeira de aresta 10 cm . Qual é o menor caminho que ela pode escolher, percorrendo as faces do cubo, para chegar ao vértice oposto? Qual a medida deste caminho?

Passo 1

O enunciado diz que uma formiga parte de um vértice de um cubo de aresta 10 cm e deve chegar ao vértice oposto, andando somente sobre as faces. Isso é um problema clássico de “desenrolar” (unfold) faces do cubo para transformar o trajeto sobre superfícies em uma reta num plano. Vamos usar esse método de net (desdobramento) de faces para achar o caminho mais curto.

Passo 2

Escolhemos desdobrar duas faces adjacentes que contêm o vértice de partida e o vértice de destino de modo que, no plano, elas formem um retângulo de dimensões 10 cm por 20 cm. Na net:
– O vértice inicial fica em um canto do retângulo.
– O vértice oposto do cubo fica no canto diametralmente oposto do retângulo.

Passo 3

No retângulo 10\times20, o menor caminho é a diagonal. Assim, a distância d é d = \sqrt{20^2 + 10^2} d = \sqrt{400 + 100} d = \sqrt{500} d = 10\sqrt{5}\\ \text{cm}.

Passo 4

Qualquer outro desdobramento (por exemplo, envolvendo três faces) produziria dimensões maiores para o retângulo plano (como 20\times20), e sua diagonal seria maior ( 20\sqrt2\approx28{,}3 cm). Logo, o trajeto sobre duas faces com comprimento 10\sqrt5 cm é o menor possível.

Resposta

O menor caminho é uma reta sobre as faces correspondentes ao desdobramento de duas faces adjacentes, e mede 10\sqrt{5} cm (aproximadamente 22,36 cm).

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