Uma formiga está parada sobre um dos vértices de um cubo de madeira de aresta 10 cm . Qual é o menor caminho que ela pode escolher, percorrendo as faces do cubo, para chegar ao vértice oposto? Qual a medida deste caminho?
Passo 1
O enunciado diz que uma formiga parte de um vértice de um cubo de aresta
cm e deve chegar ao vértice oposto, andando somente sobre as faces. Isso é um problema clássico de “desenrolar” (unfold) faces do cubo para transformar o trajeto sobre superfícies em uma reta num plano. Vamos usar esse método de net (desdobramento) de faces para achar o caminho mais curto.
Passo 2
Escolhemos desdobrar duas faces adjacentes que contêm o vértice de partida e o vértice de destino de modo que, no plano, elas formem um retângulo de dimensões
cm por
cm. Na net:
– O vértice inicial fica em um canto do retângulo.
– O vértice oposto do cubo fica no canto diametralmente oposto do retângulo.
– O vértice inicial fica em um canto do retângulo.
– O vértice oposto do cubo fica no canto diametralmente oposto do retângulo.
Passo 3
No retângulo
, o menor caminho é a diagonal. Assim, a distância
é
Passo 4
Qualquer outro desdobramento (por exemplo, envolvendo três faces) produziria dimensões maiores para o retângulo plano (como
), e sua diagonal seria maior (
cm). Logo, o trajeto sobre duas faces com comprimento
cm é o menor possível.
Resposta
O menor caminho é uma reta sobre as faces correspondentes ao desdobramento de duas faces adjacentes, e mede
cm (aproximadamente
cm).