O3 Considere a função f(x)=a x^{2}+b x+c \operatorname{com} a, b, c \in \mathbb{R} e a \neq 0.
(a) Mostre que f(x)=f\left(\frac{-b}{a}-x\right).
(b) Se a>0, mostre que f(x) \geqslant-\left(\frac{b^{2}-4 a c}{4 a}\right), \forall x \in \mathbb{R}.
(c) Se a<0, mostre que f(x) \leqslant-\left(\frac{b^{2}-4 a c}{4 a}\right), \forall x \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x) = a x^{2} + b x + c,
com a,b,c\in\mathbb{R} e a\neq0. Precisamos mostrar três propriedades:
(a) a simetria f(x)=f\bigl(-\tfrac{b}{a}-x\bigr);
(b) se a>0, então f(x)\ge -\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} para todo x;
(c) se a<0, então f(x)\le -\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} para todo x.
Vamos usar manipulações algébricas e completar o quadrado.

Passo 2

Para (a), calculemos
f\bigl(-\tfrac{b}{a}-x\bigr) = a\Bigl(-\tfrac{b}{a}-x\Bigr)^{2} + b\Bigl(-\tfrac{b}{a}-x\Bigr) + c.
Expandindo o quadrado,
\Bigl(-\tfrac{b}{a}-x\Bigr)^{2} = \tfrac{b^{2}}{a^{2}} + 2\,\tfrac{b}{a}\,x + x^{2},
então
a\Bigl(\tfrac{b^{2}}{a^{2}} + 2\,\tfrac{b}{a}\,x + x^{2}\Bigr) = \tfrac{b^{2}}{a} + 2b\,x + a\,x^{2}.
Somando o termo linear e o constante,
\tfrac{b^{2}}{a} + 2b\,x + a\,x^{2} - \tfrac{b^{2}}{a} - b\,x + c = a\,x^{2} + b\,x + c = f(x).
Logo
f\bigl(-\tfrac{b}{a}-x\bigr)=f(x).

Passo 3

Para (b) e (c), escrevemos f(x) completando o quadrado:
f(x) = a\,x^{2} + b\,x + c = a\Bigl(x + \tfrac{b}{2a}\Bigr)^{2} - \underbrace{\tfrac{b^{2}}{4a}}_{=\tfrac{b^{2}}{4a}} + c.
Como
a\Bigl(x + \tfrac{b}{2a}\Bigr)^{2} = a\,x^{2} + b\,x + \tfrac{b^{2}}{4a},
segue
f(x) = a\Bigl(x + \tfrac{b}{2a}\Bigr)^{2} - \tfrac{b^{2}-4ac}{4a}.

Passo 4

Se a>0, o termo
a\Bigl(x + \tfrac{b}{2a}\Bigr)^{2}\ge0
para todo x. Logo
f(x) \;=\; a\Bigl(x + \tfrac{b}{2a}\Bigr)^{2} -\tfrac{b^{2}-4ac}{4a} \;\ge\; -\tfrac{b^{2}-4ac}{4a}.

Passo 5

Se a<0, então
a\Bigl(x + \tfrac{b}{2a}\Bigr)^{2}\le0
para todo x, de modo que
f(x) \;=\; a\Bigl(x + \tfrac{b}{2a}\Bigr)^{2} -\tfrac{b^{2}-4ac}{4a} \;\le\; -\tfrac{b^{2}-4ac}{4a}.

Resposta

(a) \displaystyle f(x)=f\bigl(-\tfrac{b}{a}-x\bigr).
(b) Se a>0, então \displaystyle f(x)\ge -\frac{b^{2}-4ac}{4a} para todo x.
(c) Se a<0, então \displaystyle f(x)\le -\frac{b^{2}-4ac}{4a} para todo x.

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