O3 Considere a função f(x)=a x^{2}+b x+c \operatorname{com} a, b, c \in \mathbb{R} e a \neq 0.
(a) Mostre que f(x)=f\left(\frac{-b}{a}-x\right).
(b) Se a>0, mostre que f(x) \geqslant-\left(\frac{b^{2}-4 a c}{4 a}\right), \forall x \in \mathbb{R}.
(c) Se a<0, mostre que f(x) \leqslant-\left(\frac{b^{2}-4 a c}{4 a}\right), \forall x \in \mathbb{R}.
Passo 1
O enunciado define a função
f(x) = a x^{2} + b x + c,
com a,b,c\in\mathbb{R} e a\neq0. Precisamos mostrar três propriedades:
(a) a simetria f(x)=f\bigl(-\tfrac{b}{a}-x\bigr);
(b) se a>0, então f(x)\ge -\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} para todo x;
(c) se a<0, então f(x)\le -\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} para todo x.
Vamos usar manipulações algébricas e completar o quadrado.
Passo 2
Para (a), calculemos
f\bigl(-\tfrac{b}{a}-x\bigr) = a\Bigl(-\tfrac{b}{a}-x\Bigr)^{2} + b\Bigl(-\tfrac{b}{a}-x\Bigr) + c.
(a) \displaystyle f(x)=f\bigl(-\tfrac{b}{a}-x\bigr).
(b) Se a>0, então \displaystyle f(x)\ge -\frac{b^{2}-4ac}{4a} para todo x.
(c) Se a<0, então \displaystyle f(x)\le -\frac{b^{2}-4ac}{4a} para todo x.