- 1 A calculadora do Dodó tem uma tecla especial com o símbolo
. Se o visor mostra um número
diferente de 2 , ao apertar aparece
valor de
(a) Se o Dodó colocar 4 no visor e aperta
, qual número vai aparecer?
(b) Dodó colocou um número no visor e, ao apertar
, apareceu o mesmo número. Quais são os números que ele pode ter colocado no visor?
(c) Dodó percebeu que, colocando o 4 no visor e apertando duas vezes, aparece de novo o 4; da mesma forma, colocando o 5 e apertando duas vezes, aparece de novo o 5 . O mesmo vai acontecer para qualquer número diferente de 2 ? Explique.
(d) Explique, com linguagem de função, o que pedem os enunciados dos itens (a), (b) e (c).
(b) Dodó colocou um número no visor e, ao apertar
(c) Dodó percebeu que, colocando o 4 no visor e apertando duas vezes, aparece de novo o 4; da mesma forma, colocando o 5 e apertando duas vezes, aparece de novo o 5 . O mesmo vai acontecer para qualquer número diferente de 2 ? Explique.
(d) Explique, com linguagem de função, o que pedem os enunciados dos itens (a), (b) e (c).
Passo 1
O enunciado define uma função especial
que, para
, retorna
O conteúdo é manipulação de funções: cálculo de imagem, resolução de
(pontos fixos) e composição de funções para ver se
.
Passo 2
(a) Calcular
. Substituindo
em
vem
Passo 3
(b) Determinar
tal que
. Resolvemos
Multiplicando ambos os lados por
(sabendo que
),
Logo os pontos fixos são
Passo 4
(c) Verificar se
para todo
. Primeiro escrevemos
No numerador:
No denominador:
Assim
Portanto para todo
, aplicando duas vezes volta ao valor inicial: é uma involução.
Passo 5
(d) Em termos de teoria de funções:
(a) pede a imagem de pela função
.
(b) pede os pontos fixos de , isto é, as soluções de
.
(c) pede para verificar a composição e mostrar que ela é a identidade no domínio (involutiva).
(a) pede a imagem de
(b) pede os pontos fixos de
(c) pede para verificar a composição
Resposta
(a)
.
(b)
ou
.
(c) Sim. Como mostramos,
para todo
, logo sempre volta ao valor inicial.