• 1 A calculadora do Dodó tem uma tecla especial com o símbolo \lambda. Se o visor mostra um número x diferente de 2 , ao apertar aparece o valor de
\frac{2 x-3}{x-2}
(a) Se o Dodó colocar 4 no visor e aperta \boldsymbol{\lambda}, qual número vai aparecer?
(b) Dodó colocou um número no visor e, ao apertar \boldsymbol{\gamma}, apareceu o mesmo número. Quais são os números que ele pode ter colocado no visor?
(c) Dodó percebeu que, colocando o 4 no visor e apertando duas vezes, aparece de novo o 4; da mesma forma, colocando o 5 e apertando duas vezes, aparece de novo o 5 . O mesmo vai acontecer para qualquer número diferente de 2 ? Explique.
(d) Explique, com linguagem de função, o que pedem os enunciados dos itens (a), (b) e (c).

Passo 1

O enunciado define uma função especial \lambda que, para x\neq2, retorna
f(x)=\frac{2x-3}{x-2}.
O conteúdo é manipulação de funções: cálculo de imagem, resolução de f(x)=x (pontos fixos) e composição de funções para ver se f(f(x))=x.

Passo 2

(a) Calcular f(4). Substituindo x=4 em
f(x)=\frac{2x-3}{x-2}
vem
f(4)=\frac{2\cdot4-3}{4-2}=\frac{8-3}{2}=\frac{5}{2}.

Passo 3

(b) Determinar x tal que f(x)=x. Resolvemos
\frac{2x-3}{x-2}=x.
Multiplicando ambos os lados por (x-2) (sabendo que x\neq2),
2x-3 = x(x-2) = x^2 - 2x
x^2 - 4x + 3 = 0
(x-1)(x-3)=0
Logo os pontos fixos são
x=1\quad\text{ou}\quad x=3.

Passo 4

(c) Verificar se f(f(x))=x para todo x\neq2. Primeiro escrevemos
f(f(x)) =\;f\biggl(\frac{2x-3}{x-2}\biggr) =\frac{2\frac{2x-3}{x-2}-3}{\frac{2x-3}{x-2}-2}.
No numerador:
2\frac{2x-3}{x-2}-3=\frac{4x-6-3(x-2)}{x-2}=\frac{4x-6-3x+6}{x-2}=\frac{x}{x-2}.
No denominador:
\frac{2x-3}{x-2}-2=\frac{2x-3-2(x-2)}{x-2}=\frac{2x-3-2x+4}{x-2}=\frac{1}{x-2}.
Assim
f(f(x))=\frac{\frac{x}{x-2}}{\frac{1}{x-2}}=x.
Portanto para todo x\neq2, aplicando duas vezes volta ao valor inicial: é uma involução.

Passo 5

(d) Em termos de teoria de funções:
(a) pede a imagem de 4 pela função f.
(b) pede os pontos fixos de f, isto é, as soluções de f(x)=x.
(c) pede para verificar a composição f\circ f e mostrar que ela é a identidade no domínio (involutiva).

Resposta

(a) \tfrac{5}{2}.
(b) 1 ou 3.
(c) Sim. Como mostramos, f(f(x))=x para todo x\neq2, logo sempre volta ao valor inicial.

Exercícios relacionados