Resolver os sistemas a seguir pelo método da decomposição L U, com a estratégia indicada.
Sem e com pivotação parcial, comparando os resultados, utilizando apenas 4 casas decimais.
\left(\begin{array}{rrr} 2 & 6 & -3 \\\\ 1 & 3,001 & 2 \\\\ 4 & -1 & 9 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} 5 \\\\ 9 \\\\ 29 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{pmatrix} 2 & 6 & -3\\\\ 1 & 3{,}001 & 2\\\\ 4 & -1 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\\ 9\\\ 29\end{pmatrix}
pelo método de decomposição LU, primeiro sem pivotação parcial e depois com pivotação parcial, usando apenas 4 casas decimais em todas as matrizes e soluções.

Passo 2

Decomposição LU sem pivotação:
A= \begin{pmatrix} 2 & 6 & -3\\\\ 1 & 3{,}001 & 2\\\\ 4 & -1 & 9 \end{pmatrix}.
Doolittle sem troca de linhas dá
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0{,}5000 & 1 & 0\\\\ 2{,}0000 & -13000{,}0000 & 1 \end{pmatrix},\quad U=\begin{pmatrix} 2 & 6{,}0000 & -3{,}0000\\\\ 0 & 0{,}0010 & 3{,}5000\\\\ 0 & 0 & 45515{,}0000 \end{pmatrix}.
Resolvendo Ly=b:
y_{1}=5,\quad y_{2}=9-0{,}5\cdot5=6{,}5,\quad y_{3}=29-2\cdot5+13000\cdot6{,}5=84519.
Depois Ux=y:
45515\,x_{3}=84519\implies x_{3}=1{,}8571,
0{,}0010\,x_{2}+3{,}5000\cdot1{,}8571=6{,}5\implies x_{2}=0{,}1500,
2\,x_{1}+6\,0{,}1500-3\,1{,}8571=5\implies x_{1}=4{,}8357.

Passo 3

Decomposição LU com pivotação parcial:
permuta a primeira com a terceira linha, aplicando P:
PA= \begin{pmatrix}0&0&1\\\ 0&1&0\\\ 1&0&0\end{pmatrix} A = \begin{pmatrix} 4 & -1 & 9\\\\ 1 & 3{,}001 & 2\\\\ 2 & 6 & -3 \end{pmatrix}.
Fazendo Doolittle:
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0{,}2500 & 1 & 0\\\\ 0{,}5000 & 1{,}9997 & 1 \end{pmatrix},\quad U=\begin{pmatrix} 4 & -1{,}0000 & 9{,}0000\\\\ 0 & 3{,}2510 & -0{,}2500\\\\ 0 & 0 & -7{,}0001 \end{pmatrix}.
Agora Ly = Pb, com Pb=(29,9,5)^T:
y_{1}=29,\quad y_{2}=9-0{,}25\cdot29=1{,}75,\quad y_{3}=5-0{,}5\cdot29-1{,}9997\cdot1{,}75=-12{,}9995.
E Ux=y:
-7{,}0001\,x_{3}=-12{,}9995\implies x_{3}=1{,}8570,
3{,}2510\,x_{2}-0{,}2500\cdot1{,}8570=1{,}75\implies x_{2}=0{,}6811,
4\,x_{1}-1\cdot0{,}6811+9\cdot1{,}8570=29\implies x_{1}=3{,}2420.

Passo 4

Comparando as soluções:
sem pivotação parcial obtivemos (4{,}8357,\;0{,}1500,\;1{,}8571), que não satisfaz bem o sistema, e com pivotação parcial (3{,}2420,\;0{,}6811,\;1{,}8570), que é a solução correta dentro de 4 casas decimais.

Resposta

(i) Sem pivotação parcial:
x_{1}=4{,}8357,\;x_{2}=0{,}1500,\;x_{3}=1{,}8571.
(ii) Com pivotação parcial:
x_{1}=3{,}2420,\;x_{2}=0{,}6811,\;x_{3}=1{,}8570.

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