Para cada um dos casos a seguir, verifique a desigualdade e forneça um exemplo de um vetor não nulo (para n geral) para o qual a igualdade seja atingida. Neste problema, x é um vetor de dimensão n
|x|{\infty} \leq|x|{2}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, para todo vetor x\in\mathbb{R}^n, vale
\|x\|_{\infty} \le \|x\|_{2}
e para encontrarmos um exemplo de vetor não nulo em que essa desigualdade se torne igualdade. Vamos usar as definições de norma:
\|x\|_{\infty} = \max_{1\le i\le n} |x_i|,
\|x\|_{2} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i^2}.

Passo 2

Como \|x\|_{\infty} = \max_i |x_i|, existe um índice j tal que
|x_j| = \|x\|_{\infty}.
Então, ao somar os quadrados de todas as componentes, temos
\sum_{i=1}^n x_i^2 \;\ge\; x_j^2 \;=\;\|x\|_{\infty}^2.
Tomando raiz em ambos os lados, obtemos
\|x\|_{2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}\;\ge\;\sqrt{\|x\|_{\infty}^2} = \|x\|_{\infty},
que é justamente a desigualdade desejada.

Passo 3

Para que ocorra igualdade, precisamos que
\sum_{i=1}^n x_i^2 \;=\; x_j^2,
isto é, todas as outras componentes além de x_j sejam nulas. Portanto, um exemplo genérico é
x = (a,0,0,\dots,0),
com a\neq0.

Resposta

A desigualdade vale sempre e torna‐se igualdade para, por exemplo,
x = (a,0,\dots,0)\quad\text{com }a\neq0,
pois então \|x\|_{\infty}=|a|=\|x\|_{2}.

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