Para cada um dos casos a seguir, verifique a desigualdade e forneça um exemplo de um vetor não nulo (para n geral) para o qual a igualdade seja atingida. Neste problema, x é um vetor de dimensão n
|x|{\infty} \leq|x|{2}.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, para todo vetor x\in\mathbb{R}^n, vale
\|x\|_{\infty} \le \|x\|_{2}
e para encontrarmos um exemplo de vetor não nulo em que essa desigualdade se torne igualdade. Vamos usar as definições de norma:
\|x\|_{\infty} = \max_{1\le i\le n} |x_i|,
\|x\|_{2} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i^2}.
Passo 2
Como \|x\|_{\infty} = \max_i |x_i|, existe um índice j tal que
|x_j| = \|x\|_{\infty}.
Então, ao somar os quadrados de todas as componentes, temos