Para cada um dos casos a seguir, verifique a desigualdade e forneça um exemplo de um vetor não nulo (para n geral) para o qual a igualdade seja atingida. Neste problema, x é um vetor de dimensão n
|x|{2} \leq \sqrt{n}|x|{\infty}.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo vetor x\in\mathbb{R}^n, vale a desigualdade
Para isso vamos usar apenas a definição das normas e a desigualdade elementar |x_i|\le\|x\|_{\infty}. Depois, daremos um exemplo de vetor não nulo que atinge igualdade.
Passo 2
Definimos
\|x\|_{2}=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}
e
\|x\|_{\infty}=\max_{1\le i\le n}|x_{i}|.
Como \|x\|_{\infty} é o maior valor absoluto entre as coordenadas, para todo i temos
|x_{i}|\le\|x\|_{\infty}.
Passo 3
Elevando ao quadrado essa desigualdade coordenada a coordenada e somando de i=1 até n, obtemos