Para cada um dos casos a seguir, verifique a desigualdade e forneça um exemplo de um vetor não nulo (para n geral) para o qual a igualdade seja atingida. Neste problema, x é um vetor de dimensão n
|x|{2} \leq \sqrt{n}|x|{\infty}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo vetor x\in\mathbb{R}^n, vale a desigualdade
\|x\|_{2} \le \sqrt{n}\,\|x\|_{\infty},
onde
\|x\|_{2}=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}} \quad\text{e}\quad \|x\|_{\infty}=\max_{1\le i\le n}|x_{i}|.
Para isso vamos usar apenas a definição das normas e a desigualdade elementar |x_i|\le\|x\|_{\infty}. Depois, daremos um exemplo de vetor não nulo que atinge igualdade.

Passo 2

Definimos
\|x\|_{2}=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}
e
\|x\|_{\infty}=\max_{1\le i\le n}|x_{i}|.
Como \|x\|_{\infty} é o maior valor absoluto entre as coordenadas, para todo i temos
|x_{i}|\le\|x\|_{\infty}.

Passo 3

Elevando ao quadrado essa desigualdade coordenada a coordenada e somando de i=1 até n, obtemos
\sum_{i=1}^n x_{i}^{2} \;\le\; \sum_{i=1}^n \|x\|_{\infty}^{2} \;=\; n\,\|x\|_{\infty}^{2}.
Tirando a raiz de ambos os lados segue
\|x\|_{2} =\sqrt{\sum_{i=1}^n x_{i}^{2}} \;\le\; \sqrt{n\,\|x\|_{\infty}^{2}} =\sqrt{n}\,\|x\|_{\infty}.

Passo 4

Para ver que essa desigualdade pode ser exata, basta escolher todas as coordenadas de x com o mesmo valor não nulo. Por exemplo, tome
x=(c,c,\dots,c)\quad\text{com }c\neq0.
Então
\|x\|_{\infty}=|c| \quad\text{e}\quad \|x\|_{2}=\sqrt{n\,c^{2}}=\sqrt{n}\,|c|=\sqrt{n}\,\|x\|_{\infty},
o que dá igualdade na desigualdade desejada.

Resposta

A desigualdade
\|x\|_{2}\le\sqrt{n}\,\|x\|_{\infty}
está verificada. Um exemplo de vetor não nulo que atinge igualdade é
x=(c,c,\dots,c)\quad(c\neq0),
pois então \|x\|_{2}=\sqrt{n}\,\|x\|_{\infty}.

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