Explique porque a expressão \|x-y\|=\|y-x\| é verdadeira para todas as normas.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em qualquer espaço vetorial com norma, vale
\|x - y\| = \|y - x\|
para quaisquer vetores x e y. O conteúdo que vamos usar é a definição de norma, em especial a propriedade de homogeneidade absoluta (ou “positiva”) de escalares.

Passo 2

Recordando a definição, uma norma \|\cdot\| satisfaz, entre outros axiomas, a homogeneidade absoluta: para todo vetor v e todo escalar \alpha,
\|\alpha\,v\| = |\alpha|\,\|v\|.

Passo 3

Escolhendo \alpha = -1 na propriedade acima, obtemos
\|{-1}\,v\| = |{-1}|\,\|v\| = 1\cdot\|v\| = \|v\|.
Ou seja,
\| -v\| = \|v\|\quad\text{para todo }v.

Passo 4

Basta notar que
y - x = -(x - y).
Aplicando a igualdade do passo anterior com v = x - y, temos
\|\,y - x\| = \|\,-(x - y)\| = \|\,x - y\|.

Resposta

\|x - y\| = \|y - x\|, pois qualquer norma satisfaz \|\,-v\| = \|v\| e y - x = -(x - y).

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