Realize os seguintes cálculos: a) \frac{4}{5}+\frac{1}{3}. b) \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{3}. c) \left(\frac{1}{3}-\frac{3}{11}\right)+\frac{3}{20}. d) \left(\frac{1}{3}-\frac{3}{11}\right)-\frac{3}{20}. (i) exatatamente e (ii) utilizando aritmética com arredondamento de três dígitos em cada operação. (iii) Calcule os erros relativos na parte (ii).

Passo 1

O enunciado pede quatro operações com frações (adição, multiplicação, soma de diferença e diferença de diferença), cada uma em três versões:
(i) valor exato usando álgebra de frações;
(ii) valor aproximado simulando aritmética com arredondamento a três algarismos significativos em cada operação;
(iii) cálculo do erro relativo da parte (ii).

Passo 2

Para simular a aritmética com três algarismos significativos usamos este procedimento em cada operação:
  1. Convertendo cada fração em decimal e arredondando a três algarismos significativos.
  2. Executando a operação (soma, subtração ou multiplicação).
  3. Arredondando o resultado da operação a três algarismos significativos.
  4. No final, o erro relativo é \bigl|\text{exato} - \text{aprox}\bigr|/|\text{exato}|.

Passo 3

a(i) – Cálculo exato de \tfrac{4}{5} + \tfrac{1}{3}.
\frac{4}{5} + \frac{1}{3} = \frac{4\cdot3 + 1\cdot5}{5\cdot3} = \frac{12 + 5}{15} = \frac{17}{15}.

Passo 4

a(ii) – Aritmética de três algarismos: \tfrac{4}{5}=0,800, \tfrac{1}{3}=0,333.
0,800 + 0,333 = 1,133\quad\text{(já tem 4 dígitos, arredondando a 3): }1,13.áí

Passo 5

a(iii) – Erro relativo:
\frac{\bigl|\tfrac{17}{15} - 1,13\bigr|}{\tfrac{17}{15}} = \frac{1,13333\ldots - 1,13}{1,13333\ldots} \approx 0{,}00294\;(\approx0,294\%).

Passo 6

b(i) – Cálculo exato de \tfrac{4}{5}\times\tfrac{1}{3}.
\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{3} = \frac{4}{15}.

Passo 7

b(ii) – Aritmética de três algarismos: \tfrac{4}{5}=0,800, \tfrac{1}{3}=0,333.
0,800 \times 0,333 = 0,2664\quad\text{(3 algarismos): }0,266.

Passo 8

b(iii) – Erro relativo:
\frac{\bigl|\tfrac{4}{15} - 0,266\bigr|}{\tfrac{4}{15}} = \frac{0,26666\ldots - 0,266}{0,26666\ldots} \approx 0{,}00250\;(\approx0,250\%).

Passo 9

c(i) – Cálculo exato de \bigl(\tfrac{1}{3}-\tfrac{3}{11}\bigr)+\tfrac{3}{20}.
\frac{1}{3}-\frac{3}{11} = \frac{11-9}{33} = \frac{2}{33}, \quad \frac{2}{33} + \frac{3}{20} = \frac{2\cdot20 + 3\cdot33}{660} = \frac{40 + 99}{660} = \frac{139}{660}.

Passo 10

c(ii) – Aritmética de três algarismos: \tfrac{1}{3}=0,333, \tfrac{3}{11}=0,273.
0,333 - 0,273 = 0,060\quad(\text{3 algarismos})
e \tfrac{3}{20}=0,150,
0,060 + 0,150 = 0,210\quad(\text{3 algarismos}).

Passo 11

c(iii) – Erro relativo:
\frac{\bigl|\tfrac{139}{660}-0,210\bigr|}{\tfrac{139}{660}} = \frac{0,210606\dots - 0,210}{0,210606\dots} \approx 0{,}00288\;(\approx0,288\%).

Passo 12

d(i) – Cálculo exato de \bigl(\tfrac{1}{3}-\tfrac{3}{11}\bigr)-\tfrac{3}{20}.
\frac{2}{33}-\frac{3}{20} = \frac{40 - 99}{660} = -\frac{59}{660}.

Passo 13

d(ii) – Aritmética de três algarismos:
da diferença inicial já obteve-se 0,060 e \tfrac{3}{20}=0,150,
0,060 - 0,150 = -0,090\quad(\text{3 algarismos}).

Passo 14

d(iii) – Erro relativo:
\frac{\bigl|-\tfrac{59}{660} - (-0,090)\bigr|}{\bigl|-\tfrac{59}{660}\bigr|} = \frac{0,0893939\ldots - 0,090}{0,0893939\ldots} \approx 0{,}00678\;(\approx0,678\%).

Resposta

a) (i) \tfrac{17}{15}
\phantom{a)} (ii) 1,13
\phantom{a)} (iii) 0{,}00294
b) (i) \tfrac{4}{15}
\phantom{b)} (ii) 0,266
\phantom{b)} (iii) 0{,}00250
c) (i) \tfrac{139}{660}
\phantom{c)} (ii) 0,210
\phantom{c)} (iii) 0{,}00288
d) (i) -\tfrac{59}{660}
\phantom{d)} (ii) -0,090
\phantom{d)} (iii) 0{,}00678

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