Seja x \in \mathbb{R}^{n}, verifique que \|x\|_{2}^{2}=x^{T} x, em que x^{T} é a transposta do vetor x.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para um vetor x\in\mathbb{R}^n, o quadrado da norma Euclidiana coincide com o produto interno de x por si mesmo, ou seja,
\|x\|_{2}^{2}=x^{T}x.
Vamos usar a definição da norma Euclidiana e a definição de produto matricial (produto interno) de vetores.

Passo 2

Pela definição, a norma Euclidiana de x=(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})^{T} é
\|x\|_{2} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}.
Elevando ao quadrado, obtemos
\|x\|_{2}^{2}=\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}.

Passo 3

O vetor transposto x^{T} é de dimensão 1\times n e x é de dimensão n\times1. O produto matricial x^{T}x é então o escalar
x^{T}x = \sum_{i=1}^{n}x_{i}\,x_{i} = \sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}.
Como ambas as expressões somam x_{i}^{2} para i=1,\dots,n, concluímos que
\|x\|_{2}^{2} = x^{T}x.

Resposta

Foi verificado que \|x\|_{2}^{2}=x^{T}x.

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