Seja x \in \mathbb{R}^{n}, verifique que \|x\|_{2}^{2}=x^{T} x, em que x^{T} é a transposta do vetor x.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para um vetor x\in\mathbb{R}^n, o quadrado da norma Euclidiana coincide com o produto interno de x por si mesmo, ou seja,
\|x\|_{2}^{2}=x^{T}x.
Vamos usar a definição da norma Euclidiana e a definição de produto matricial (produto interno) de vetores.
Passo 2
Pela definição, a norma Euclidiana de x=(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})^{T} é
\|x\|_{2} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}.
Elevando ao quadrado, obtemos
\|x\|_{2}^{2}=\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}.
Passo 3
O vetor transposto x^{T} é de dimensão 1\times n e x é de dimensão n\times1. O produto matricial x^{T}x é então o escalar