Em cada uma das equações de I a III, encontre valores aproximados da solução do problema de valor inicial dado em \mathrm{t}=0,1 ; 0,2 ; 0,3 e 0,4 .
Use o método de Euler com \mathrm{h}=0,05.
(I) \quad y^{\prime}=3+t-y ; \mathrm{y} 0=1
(II) \quad y^{\prime}=5 t-3 \sqrt{y} ; \mathrm{y} 0=2
(III) \quad y^{\prime}=2 t-e^{t y} \quad ; \mathrm{y} 0=1

Passo 1

Temos três problemas de valor inicial da forma
y'(t)=f(t,y),\quad y(0)=y_0,
nos quais devemos obter aproximações de y(t) em t=0,1, 0,2, 0,3 e 0,4 usando o método de Euler com passo h=0,05.

Passo 2

O método de Euler explícito diz que, a cada iteração n,
y_{n+1}=y_n + h\,f(t_n,y_n),
onde t_n = n\,h e y_n\approx y(t_n). Adotamos h=0,05.

Passo 3

Aplicando ao problema I:
y'=3+t-y,\qquad y(0)=1.
Iteramos:
n=0: t_0=0, y_0=1, f_0=3+0-1=2 y_1=1+0,05\cdot2=1,1.
n=1: t_1=0,05, y_1=1,1, f_1=3+0,05-1,1=1,95 y_2=1,1+0,05\cdot1,95=1,1975.
Logo \,y(0,1)\approx y_2=1,1975. Seguindo até t=0,4 obtém-se
y(0,2)\approx1,3855,\quad y(0,3)\approx1,5649,\quad y(0,4)\approx1,7356.

Passo 4

Aplicando ao problema II:
y'=5\,t-3\sqrt{y},\qquad y(0)=2.
Iterando com Euler:
n=0: f_0=0-3\sqrt{2}\approx-4,2426 y_1=2+0,05\cdot(-4,2426)=1,7879.
n=1: t_1=0,05, f_1=0,25-3\sqrt{1,7879}\approx-3,7637 y_2\approx1,5997.
Logo \,y(0,1)\approx1,5997. Continuando até t=0,4 resulta
y(0,2)\approx1,2927,\quad y(0,3)\approx1,0721,\quad y(0,4)\approx0,9299.

Passo 5

Aplicando ao problema III:
y'=2\,t - e^{t\,y},\qquad y(0)=1.
Iterando:
n=0: f_0=0 - e^{0\cdot1}=-1 y_1=1-0,05=0,95.
n=1: t_1=0,05, f_1=0,1-e^{0,0475}\approx-0,9486 y_2\approx0,9026.
Logo \,y(0,1)\approx0,9026. Prosseguindo até t=0,4
y(0,2)\approx0,8160,\quad y(0,3)\approx0,7414,\quad y(0,4)\approx0,6798.

Resposta

I) y(0,1)\approx1,1975, y(0,2)\approx1,3855, y(0,3)\approx1,5649, y(0,4)\approx1,7356
II) y(0,1)\approx1,5997, y(0,2)\approx1,2927, y(0,3)\approx1,0721, y(0,4)\approx0,9299
III) y(0,1)\approx0,9026, y(0,2)\approx0,8160, y(0,3)\approx0,7414, y(0,4)\approx0,6798

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