3- Considere a equação diferencial dada por:
\frac{d y}{d x}=2 x-3 y+1
Sabendo que y(1)=5
a) Use o Método de Euler com passo de \mathrm{h}=0,025 para calcular 5 pontos a frente.
b) Sabendo que a solução analítica é dada por:
y(x)=\frac{1}{9}+\frac{2}{3} x+\frac{38}{9} e^{-3(x-1)}
Calcule o erro percentual relativo entre o valor encontrado pelo método de Euler com o valor exato dado pela solução analítica.
c) Use o método de Heun com duas interações e calcule o erro percentual.

Passo 1

O enunciado dá a EDO
\frac{dy}{dx}=2x-3y+1,
com condição inicial y(1)=5 e pede:
a) aplicar o método de Euler com passo h=0,025 para obter 5 valores de y em x=1{,}025, 1{,}05, 1{,}075, 1{,}1 e 1{,}125.
b) comparar o valor aproximado em x=1{,}125 com a solução exata
y(x)=\frac{1}{9}+\frac{2}{3}x+\frac{38}{9}e^{-3(x-1)}
e calcular o erro percentual relativo.
c) repetir em x=1{,}125 usando o método de Heun (predictor-corrector) com duas iterações por passo e calcular o erro percentual.

Passo 2

Aplicando Euler:
Fórmula de passo: y_{n+1}=y_n+h\,f(x_n,y_n), onde f(x,y)=2x-3y+1.
Partindo de x_0=1, y_0=5 e h=0,025:
\begin{aligned} x_1&=1{,}025,\quad f_0=2\cdot1-3\cdot5+1=-12,\quad y_1=5+0,025\cdot(-12)=4{,}7000;\\\ x_2&=1{,}05,\quad f_1=2\cdot1{,}025-3\cdot4{,}7+1=-11{,}05,\quad y_2=4{,}7+0,025\cdot(-11{,}05)=4{,}42375;\\\ x_3&=1{,}075,\quad f_2=2\cdot1{,}05-3\cdot4{,}42375+1=-10{,}17125,\; y_3=4{,}42375-0,025\cdot10{,}17125=4{,}16946875;\\\ x_4&=1{,}1,\quad f_3=2\cdot1{,}075-3\cdot4{,}16946875+1=-9{,}35840625,\; y_4=4{,}16946875-0,025\cdot9{,}35840625=3{,}93550859;\\\ x_5&=1{,}125,\quad f_4=2\cdot1{,}1-3\cdot3{,}93550859+1=-8{,}60652578,\; y_5=3{,}93550859-0,025\cdot8{,}60652578=3{,}72034545. \end{aligned}

Passo 3

Solução exata em x_5=1{,}125:
y_{\rm exato}=\frac{1}{9}+\frac{2}{3}\cdot1{,}125+\frac{38}{9}e^{-3(1{,}125-1)} \approx0{,}111111+0{,}75+2{,}901888=3{,}762999.
Erro percentual do Euler:
\varepsilon_E=\frac{\bigl|3{,}762999-3{,}720345\bigr|}{3{,}762999}\times100\%\approx1{,}13\%.

Passo 4

Método de Heun com duas iterações em cada passo:
Para cada n, calcula-se
y^{(0)}=y_n+h\,f(x_n,y_n), \quad y^{(i)}=y_n+\frac{h}{2}\bigl[f(x_n,y_n)+f(x_{n+1},y^{(i-1)})\bigr],
para i=1,2, e toma-se y_{n+1}=y^{(2)}.
Repetindo 5 passos (valores de x_n como antes), obtemos
y_1\approx4{,}71143,\; y_2\approx4{,}44493,\; y_3\approx4{,}19889,\; y_4\approx3{,}97198,\; y_5\approx3{,}75963.

Passo 5

Erro percentual do Heun em x_5=1{,}125:
\varepsilon_H =\frac{\bigl|3{,}762999-3{,}759634\bigr|}{3{,}762999}\times100\%\approx0{,}0894\%.

Resposta

a) Aplicando Euler com h=0{,}025, obtemos y(1{,}025)\approx4{,}7000,\;y(1{,}05)\approx4{,}42375,\;y(1{,}075)\approx4{,}16947,\;y(1{,}1)\approx3{,}93551,\;y(1{,}125)\approx3{,}72035.
b) Valor exato em 1{,}125 é 3{,}762999; erro percentual do Euler \approx1{,}13\%.
c) Método de Heun (duas iterações) dá y(1{,}125)\approx3{,}75963; erro percentual \approx0{,}0894\%.

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