Sabendo que y(1)=5
a) Use o Método de Euler com passo de \mathrm{h}=0,025 para calcular 5 pontos a frente.
b) Sabendo que a solução analítica é dada por:
Calcule o erro percentual relativo entre o valor encontrado pelo método de Euler com o valor exato dado pela solução analítica.
c) Use o método de Heun com duas interações e calcule o erro percentual.
Passo 1
O enunciado dá a EDO
\frac{dy}{dx}=2x-3y+1,
com condição inicial y(1)=5 e pede:
a) aplicar o método de Euler com passo h=0,025 para obter 5 valores de y em x=1{,}025, 1{,}05, 1{,}075, 1{,}1 e 1{,}125.
b) comparar o valor aproximado em x=1{,}125 com a solução exata
e calcular o erro percentual relativo.
c) repetir em x=1{,}125 usando o método de Heun (predictor-corrector) com duas iterações por passo e calcular o erro percentual.
Passo 2
Aplicando Euler:
Fórmula de passo: y_{n+1}=y_n+h\,f(x_n,y_n), onde f(x,y)=2x-3y+1.
Partindo de x_0=1, y_0=5 e h=0,025:
a) Aplicando Euler com h=0{,}025, obtemos y(1{,}025)\approx4{,}7000,\;y(1{,}05)\approx4{,}42375,\;y(1{,}075)\approx4{,}16947,\;y(1{,}1)\approx3{,}93551,\;y(1{,}125)\approx3{,}72035.
b) Valor exato em 1{,}125 é 3{,}762999; erro percentual do Euler \approx1{,}13\%.
c) Método de Heun (duas iterações) dá y(1{,}125)\approx3{,}75963; erro percentual \approx0{,}0894\%.