Resolver o sistema de equações diferenciais, usando o método de Euler, entre \mathrm{x}=0 a \mathrm{x}=4, com passo h=0,5.
\left\{\begin{array}{l} \frac{d y}{d x}=-0,5 y \\\ \frac{d z}{d x}=4-0,3 z-0,1 y \end{array}\right.
Condições iniciais: y(0)=4 e z(0)=6;

Passo 1

O enunciado pede para aproximar, pelo método de Euler, a solução numérica do sistema
\begin{cases} \frac{dy}{dx} = -0,5\,y,\\\ \frac{dz}{dx} = 4 - 0,3\,z - 0,1\,y, \end{cases}
com y(0)=4, z(0)=6, no intervalo 0 \le x \le 4 usando passo h=0,5.
Conteúdo: método de Euler para sistemas de EDOs.

Passo 2

Pelo método de Euler explícito, se y_n e z_n aproximam y(x_n), z(x_n), então
y_{n+1} = y_n + h\bigl(-0,5\,y_n\bigr), \quad z_{n+1} = z_n + h\bigl(4 - 0,3\,z_n - 0,1\,y_n\bigr).

Passo 3

Note que
y_{n+1} = y_n\bigl(1 - 0,5\,h\bigr) = y_n\,(1 - 0{,}25) = 0{,}75\,y_n,
logo y_n = 4\,(0{,}75)^n. Com h=0{,}5, temos:
\;y_0=4{,}0000,
\;y_1=3{,}0000,
\;y_2=2{,}2500,
\;y_3=1{,}6875,
\;y_4=1{,}2656,
\;y_5=0{,}9492,
\;y_6=0{,}7119,
\;y_7=0{,}5339,
\;y_8=0{,}4005.

Passo 4

Agora iteramos para z_n com a fórmula de Euler:
z_{n+1} = z_n + 0,5\bigl(4 - 0,3\,z_n - 0,1\,y_n\bigr).
Começando em z_0=6{,}0000 e usando os valores de y_n, obtemos
\;z_1=6{,}9000,
\;z_2=7{,}7150,
\;z_3=8{,}4453,
\;z_4=9{,}0941,
\;z_5=9{,}6667,
\;z_6=10{,}1692,
\;z_7=10{,}6082,
\;z_8=10{,}9903.

Resposta

Segue a tabela de aproximações pelo método de Euler com h=0{,}5:
x y z
0,0 4,0000 6,0000
0,5 3,0000 6,9000
1,0 2,2500 7,7150
1,5 1,6875 8,4453
2,0 1,2656 9,0941
2,5 0,9492 9,6667
3,0 0,7119 10,1692
3,5 0,5339 10,6082
4,0 0,4005 10,9903

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