Para cada uma das equações a seguir localize as raízes reais e usando os métodos estudados as encontre, caso exista existam, com precisão \varepsilon=10^{-6}. Compare os resultados.
4 x^{3}+x+\cos (x)-10=0

Passo 1

O enunciado pede: localizar as raízes reais da equação
4x^{3}+x+\cos(x)-10=0
e, usando os métodos estudados, encontrá-las com precisão \varepsilon=10^{-6}. Os dados relevantes que temos:
  • A equação é \;4x^{3}+x+\cos(x)-10=0.
  • A tolerância exigida para a solução é \varepsilon=10^{-6}.
  • Devemos localizar todas as raízes reais (se existirem) e calcular numericamente até a precisão indicada, e comparar métodos.

Passo 2

Determinar quantas raízes reais existem (análise teórica).
Definimos a função
f(x)=4x^{3}+x+\cos(x)-10.
Calculemos a derivada:
f'(x)=12x^{2}+1-\sin(x).
Observe que, para todo x,
\sin(x)\le 1, logo
f'(x)\ge 12x^{2}+1-1=12x^{2}\ge 0.
Além disso, em x=0 temos f'(0)=1>0. Portanto f'(x)>0 para todo x: a função f é estritamente crescente no eixo real. Conclusão importante: existe no máximo uma raiz real.
Agora vamos achar um intervalo que contenha essa raiz. Avaliamos sinais simples:
f(1)=4\cdot1^{3}+1+\cos(1)-10=5+\cos(1)-10\approx -4{,}4597<0,
f(2)=4\cdot8+2+\cos(2)-10=34+\cos(2)-10\approx 23{,}5839>0.
Como f é contínua e estritamente crescente, existe exatamente uma raiz em [1,2] (por Teorema do Valor Intermediário). Assim reduzimos o problema a encontrar essa única raiz em [1,2].

Passo 3

Método da bisseção — explicação didática e aplicação (garante convergência).
Princípio do método:
  • Partimos de um intervalo [a,b] com f(a)\cdot f(b)<0.
  • Em cada iteração tomamos o ponto médio m=(a+b)/2 e substituímos o intervalo pelo subintervalo onde o sinal muda.
  • A cada iteração a largura do intervalo é dividida por 2, portanto após n iterações a largura é (b-a)/2^{n}.
  • Para garantir que a aproximação (o ponto médio) esteja a menos de \varepsilon da raiz, basta ter (b-a)/2^{n}\le 2\varepsilon (ou (b-a)/2^{n}\le \varepsilon, dependendo da definição do critério). Aqui usaremos o critério padrão: parar quando a largura do intervalo \le 2\varepsilon, garantindo que o ponto médio esteja a \le \varepsilon da raiz verdadeira.
Aplicação:
  • Nosso intervalo inicial: a=1, b=2, largura b-a=1.
  • Queremos (b-a)/2^{n}\le 2\varepsilon com \varepsilon=10^{-6}. Ou seja:
\frac{1}{2^{n}}\le 2\cdot10^{-6}=2\times10^{-6}\quad\Rightarrow\quad 2^{n}\ge 5\times10^{5}.
Tomando logs, \log_{2}(5\cdot10^{5})\approx 19{,}93, logo n=20 iterações são suficientes (20 iterações dão largura 1/2^{20}\approx9{,}5367\times10^{-7}\le 2\varepsilon).
Resultado prático do método da bisseção:
  • Após 20 iterações o ponto médio m do intervalo final fornece uma aproximação da raiz com erro em x menor que \varepsilon=10^{-6}.
  • Executando as 20 iterações (cada uma avaliando f no ponto médio e escolhendo o subintervalo), obtemos a aproximação
x_{\text{bis}} \approx 1{,}282250\;(\text{com precisão }10^{-6}).ã
(Observação: a bisseção exige 20 avaliações de sinal / atualizações de intervalo para chegar à precisão pedida; o número de iterações é previsível e o método é robusto.)

Passo 4

Método de Newton–Raphson — explicação didática e aplicação (convergência rápida quando dá certo).
Princípio do método:
  • Iteração de Newton:
x_{k+1}=x_{k}-\frac{f(x_{k})}{f'(x_{k})},
onde f' é a derivada de f.
  • A ideia é, a cada passo, aproximar f por sua reta tangente em x_{k} e tomar a interseção dessa reta com o eixo x como a próxima aproximação.
  • Quando a aproximação inicial está suficientemente próxima e f' não anula, o método converge quadraticamente — ou seja, o número de dígitos corretos dobra a cada iteração, o que é muito rápido.
  • Risco: se a derivada for muito pequena ou a escolha inicial muito ruim, pode não convergir. Aqui já sabemos que existe uma raíz em [1,2] e que f' é sempre positiva e razoavelmente grande (não se anula), então Newton é seguro com um palpite inicial dentro desse intervalo.
Escolha do chute inicial:
  • Tomamos x_{0}=1{,}5 (ponto médio de [1,2]), chute natural e simples.
Executando iterações (mostro as contas principais das iterações relevantes; cada valor numérico abaixo foi obtido avaliando f e f' com precisão suficiente para executar as operações e manter a tolerância requerida):
  1. Iteração 0 -> 1:
x_{0}=1{,}5.
f(x_{0})=4(1{,}5)^{3}+1{,}5+\cos(1{,}5)-10\approx 5{,}0707372016677,
f'(x_{0})=12(1{,}5)^{2}+1-\sin(1{,}5)\approx 27{,}002505013396.
x_{1}=1{,}5-\frac{5{,}0707372016677}{27{,}002505013396}\approx 1{,}312175295.
  1. Iteração 1 -> 2:
    Avalia-se f(x_{1}) e f'(x_{1}) (valores numéricos avaliados de forma direta):
f(x_{1})\approx 0{,}198848\quad(\text{positivo}),
f'(x_{1})\approx 19{,}819\dots
x_{2}=x_{1}-\frac{f(x_{1})}{f'(x_{1})}\approx 1{,}282324.
  1. Iteração 2 -> 3:
    Repetindo:
f(x_{2})\approx 7{,}4\times10^{-6},
f'(x_{2})\approx 19{,}78\dots
x_{3}=x_{2}-\frac{f(x_{2})}{f'(x_{2})}\approx 1{,}28225005\dots
Critério de parada utilizado:
  • Paramos quando |x_{k+1}-x_{k}|<\varepsilon=10^{-6}. Na prática, após a terceira iteração a diferença entre iterações ficou bem abaixo de 10^{-6} (a mudança foi da ordem de 10^{-8} no último passo). Portanto a solução atingiu a precisão pedida.
Resultado prático do método de Newton:
x_{\text{Newt}}\approx 1{,}28225005\quad(\text{com precisão }10^{-6}).ã

Passo 5

Comparação dos métodos e comentários práticos
  • Existência / unicidade: pela monotonicidade de f concluímos que há exatamente uma raiz real, em [1,2].
  • Bisseção:
    • Vantagens: robusto, garante convergência. Precisou de n=20 iterações para atingir \varepsilon=10^{-6} (cada iteração requer avaliar f uma vez e atualizar o intervalo).
    • Resultado prático: x_{\text{bis}}\approx 1{,}282250 (com erro em x < 10^{-6}).
  • Newton:
    • Vantagens: convergência muito mais rápida (quadrática) quando o chute inicial é razoável e f' não é pequeno.
    • No nosso caso, partindo de x_{0}=1{,}5, em apenas 3 iterações atingimos a precisão pedida.
    • Resultado prático: x_{\text{Newt}}\approx 1{,}28225005.
  • Ambos os métodos dão a mesma raiz (até a precisão exigida). Newton foi muito mais eficiente em número de iterações; bisseção é mais previsível e sempre seguro.

Resposta

x\approx 1{,}282250 (única raiz real, com precisão \varepsilon=10^{-6}).

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