Para cada uma das equações a seguir localize as raízes reais e usando os métodos estudados as encontre, caso exista existam, com precisão
. Compare os resultados.
Passo 1
O enunciado pede: localizar as raízes reais da equação
e, usando os métodos estudados, encontrá-las com precisão
. Os dados relevantes que temos:
- A equação é
. - A tolerância exigida para a solução é
. - Devemos localizar todas as raízes reais (se existirem) e calcular numericamente até a precisão indicada, e comparar métodos.
Passo 2
Determinar quantas raízes reais existem (análise teórica).
Definimos a função
Calculemos a derivada:
Observe que, para todo
,
, logo
Além disso, em
temos
. Portanto
para todo
: a função
é estritamente crescente no eixo real. Conclusão importante: existe no máximo uma raiz real.
Agora vamos achar um intervalo que contenha essa raiz. Avaliamos sinais simples:
Como
é contínua e estritamente crescente, existe exatamente uma raiz em
(por Teorema do Valor Intermediário). Assim reduzimos o problema a encontrar essa única raiz em
.
Passo 3
Método da bisseção — explicação didática e aplicação (garante convergência).
Princípio do método:
- Partimos de um intervalo
com . - Em cada iteração tomamos o ponto médio
e substituímos o intervalo pelo subintervalo onde o sinal muda. - A cada iteração a largura do intervalo é dividida por
, portanto após iterações a largura é . - Para garantir que a aproximação (o ponto médio) esteja a menos de
da raiz, basta ter (ou , dependendo da definição do critério). Aqui usaremos o critério padrão: parar quando a largura do intervalo , garantindo que o ponto médio esteja a da raiz verdadeira.
Aplicação:
- Nosso intervalo inicial:
, , largura . - Queremos
com . Ou seja:
Tomando logs,
, logo
iterações são suficientes (20 iterações dão largura
).
Resultado prático do método da bisseção:
- Após 20 iterações o ponto médio
do intervalo final fornece uma aproximação da raiz com erro em menor que . - Executando as 20 iterações (cada uma avaliando
no ponto médio e escolhendo o subintervalo), obtemos a aproximação
(Observação: a bisseção exige 20 avaliações de sinal / atualizações de intervalo para chegar à precisão pedida; o número de iterações é previsível e o método é robusto.)
Passo 4
Método de Newton–Raphson — explicação didática e aplicação (convergência rápida quando dá certo).
Princípio do método:
- Iteração de Newton:
onde
é a derivada de
.
- A ideia é, a cada passo, aproximar
por sua reta tangente em e tomar a interseção dessa reta com o eixo como a próxima aproximação. - Quando a aproximação inicial está suficientemente próxima e
não anula, o método converge quadraticamente — ou seja, o número de dígitos corretos dobra a cada iteração, o que é muito rápido. - Risco: se a derivada for muito pequena ou a escolha inicial muito ruim, pode não convergir. Aqui já sabemos que existe uma raíz em
e que é sempre positiva e razoavelmente grande (não se anula), então Newton é seguro com um palpite inicial dentro desse intervalo.
Escolha do chute inicial:
- Tomamos
(ponto médio de ), chute natural e simples.
Executando iterações (mostro as contas principais das iterações relevantes; cada valor numérico abaixo foi obtido avaliando
e
com precisão suficiente para executar as operações e manter a tolerância requerida):
- Iteração 0 -> 1:
- Iteração 1 -> 2:
Avalia-see (valores numéricos avaliados de forma direta):
- Iteração 2 -> 3:
Repetindo:
Critério de parada utilizado:
- Paramos quando
. Na prática, após a terceira iteração a diferença entre iterações ficou bem abaixo de (a mudança foi da ordem de no último passo). Portanto a solução atingiu a precisão pedida.
Resultado prático do método de Newton:
Passo 5
Comparação dos métodos e comentários práticos
- Existência / unicidade: pela monotonicidade de
concluímos que há exatamente uma raiz real, em . - Bisseção:
- Vantagens: robusto, garante convergência. Precisou de
iterações para atingir (cada iteração requer avaliar uma vez e atualizar o intervalo). - Resultado prático:
(com erro em < ).
- Vantagens: robusto, garante convergência. Precisou de
- Newton:
- Vantagens: convergência muito mais rápida (quadrática) quando o chute inicial é razoável e
não é pequeno. - No nosso caso, partindo de
, em apenas 3 iterações atingimos a precisão pedida. - Resultado prático:
.
- Vantagens: convergência muito mais rápida (quadrática) quando o chute inicial é razoável e
- Ambos os métodos dão a mesma raiz (até a precisão exigida). Newton foi muito mais eficiente em número de iterações; bisseção é mais previsível e sempre seguro.