Para cada uma das equações a seguir localize as raízes reais e usando os métodos estudados as encontre, caso exista existam, com precisão \varepsilon=10^{-6}. Compare os resultados.
x^{3}-3 x^{2}+4=0

Passo 1

O enunciado pede o seguinte: localizar as raízes reais da equação
x^{3}-3x^{2}+4=0,
e, usando métodos numéricos estudados, encontrá‑las (quando existirem) com precisão \varepsilon=10^{-6}. Também quer que os resultados sejam comparados.
Informações dadas: a equação cúbica \,x^{3}-3x^{2}+4=0 e a precisão \varepsilon=10^{-6}. Não há outras restrições sobre métodos, então vou aplicar métodos clássicos: fatoração/analítica (para localizar as raízes), bisseção (quando for aplicável), método de Newton (padrão), método de Newton modificado para raiz múltipla e método da secante. Vou comparar convergência e número de iterações.

Passo 2

Primeiro vamos olhar a função e localizar raízes analiticamente (isso ajuda a escolher pontos iniciais e entender o comportamento):
Defina f(x)=x^{3}-3x^{2}+4. Avaliando alguns pontos:
f(-1)=(-1)^{3}-3(-1)^{2}+4=-1-3+4=0.
Logo \,x=-1 é raiz exata. Como é polinômio, podemos dividir por (x+1) para reduzir o grau. Fazendo divisão sintética (ou divisão polinomial) por x+1 obtemos o quociente
x^{2}-4x+4,
pois
x^{3}-3x^{2}+0x+4=(x+1)(x^{2}-4x+4).
Observe que x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}. Portanto as raízes do polinômio são:
x=-1\quad\text{e}\quad x=2\\ (\text{raiz de multiplicidade }2).
Conclusão: existem duas raízes reais: -1 (simples) e 2 (dupla). A partir daqui faremos os métodos numéricos para encontrá‑las com \varepsilon=10^{-6} e comparar o desempenho.

Passo 3

Explico o método da bisseção (didaticamente) e aplico para a raiz -1.
  • Ideia do método: se f é contínua e f(a)\cdot f(b)<0, então existe pelo menos uma raiz em [a,b]. Dividimos o intervalo ao meio e escolhemos o subintervalo que contém a mudança de sinal; repetimos até a largura do intervalo ser pequena o suficiente.
  • Fórmula do critério de iterações: para obter erro menor que \varepsilon (usando critério de largura do intervalo), basta n iterações com
\frac{b-a}{2^{n}} \le \varepsilon \quad\Rightarrow\quad n \ge \left\lceil \log_{2}\!\left(\frac{b-a}{\varepsilon}\right)\right\rceil.
Aplicação prática para -1: escolha o intervalo inicial [a,b]=[-2,0]. Temos f(-2)=-16<0 e f(0)=4>0, logo existe pelo menos uma raiz em [-2,0]. O comprimento inicial é b-a=2. Com \varepsilon=10^{-6},
n \ge \left\lceil \log_{2}\!\left(\frac{2}{10^{-6}}\right)\right\rceil = \left\lceil \log_{2}(2\times10^{6})\right\rceil \approx \lceil 20{,}93\rceil =21.
Portanto, em 21 iterações a bisseção garante aproximação com erro menor que 10^{-6}. O valor médio do intervalo após 21 iterações dá a aproximação
x\approx -1{,}000000\quad(\text{com precisão }10^{-6}).ã
Observação: a bisseção é garantida, estável e lenta — exige ~21 iterações neste caso para a raiz -1.

Passo 4

Explico o método de Newton (padrão), a fórmula e aplico para a raiz x=-1.
  • Fórmula do método de Newton:
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})},
onde f'(x) é a derivada de f. Aqui
f(x)=x^{3}-3x^{2}+4,\qquad f'(x)=3x^{2}-6x.
  • Critério de parada prático: parar quando |x_{n+1}-x_{n}|<\varepsilon ou |f(x_{n+1})|<\varepsilon.
Aplicação (escolhi x_{0}=-2 porque f'(0)=0 tornaria x_{0}=0 ruim):
Cálculos (apresento as iterações principais com conta explicada):
  • x_{0}=-2. Temos f(-2)=-16, f'(-2)=24. x_{1}=-2-\frac{-16}{24}=-2+\frac{2}{3}=-\frac{4}{3}\approx -1{,}333333.
  • x_{1}=-\tfrac{4}{3}. Calculei com frações para exatidão: f(x_{1})=-\tfrac{100}{27}, f'(x_{1})=\tfrac{40}{3}. x_{2}=x_{1}-\frac{f(x_{1})}{f'(x_{1})}=-\frac{4}{3}-\frac{-100/27}{40/3}=-\frac{19}{18}\approx -1{,}0555556.
  • x_{2}\approx -1{,}0555556. Computando f(x_{2}) e f'(x_{2}) numericamente obtemos correção \approx -0{,}053644, então x_{3}\approx -1{,}0019115.
  • A iteração seguinte dá x_{4}\approx -1{,}00000384,e logo x_{5}\approx -1{,}000000000\quad(\text{diferença }<10^{-6}).ç
Resultado: o método de Newton encontrou a raiz -1 em cerca de 4–5 iterações (dependendo do critério) partindo de x_{0}=-2. Conclusão: para raízes simples Newton é muito rápido (convergência quadrática local).

Passo 5

Comparo bisseção e Newton para a raiz -1:
  • Bisseção: garante convergência, previsível, ~21 iterações para \varepsilon=10^{-6} a partir do intervalo [-2,0].
  • Newton: muito mais rápido (4–5 iterações aqui), desde que a derivada não seja nula no ponto inicial e que o chute inicial seja razoável.
Comentário prático: se não se conhece bem a localização da raiz, uma estratégia segura é usar bisseção até um intervalo pequeno e depois trocar para Newton para acelerar (híbrido).

Passo 6

Agora tratamos a raiz x=2 (raiz dupla). Primeiro observações importantes para métodos que usam mudança de sinal:
  • Avaliando sinais: f(1)=1-3+4=2>0, f(3)=27-27+4=4>0. A função não muda de sinal em torno de x=2; de fato em torno de uma raiz de multiplicidade par a curva “toca” o eixo e volta, então f não necessariamente muda de sinal. Assim, a bisseção (que exige f(a)f(b)<0) NÃO é aplicável para isolar a raiz dupla por mudança de sinal. Só poderíamos usar bisseção se um dos extremos fosse exatamente 2 (então já temos a raiz), mas isso não é método numérico iterativo útil aqui.
  • Consequência: precisamos de métodos que não dependam de mudança de sinal (Newton, secante, etc.). Porém, Newton padrão tem comportamento pior em raiz múltipla: a convergência deixa de ser quadrática e torna‑se linear (mais lenta). Existe uma versão modificada de Newton que melhora a convergência quando a multiplicidade m é conhecida.

Passo 7

Explico o método de Newton modificado (para raiz de multiplicidade m) e aplico para x=2.
  • Se a raiz \alpha tem multiplicidade m, uma modificação é
x_{n+1}=x_{n}-m\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
Com m=2 (conhecida aqui pela factoração), esta fórmula restaura convergência quadrática local e acelera muito a convergência.
Aplicação prática (escolhi x_{0}=3 como chute inicial):
  • x_{0}=3: f(3)=4, f'(3)=9. Correção modificada =2\cdot\frac{4}{9}=\frac{8}{9}. Logo x_{1}=3-\frac{8}{9}=2{,}1111111111.
  • Computando f(x_{1}) e f'(x_{1}) numericamente (valores mostrados resumidos), temos f(x_{1})\approx 0{,}0417175, f'(x_{1})\approx 0{,}7037037, correção 2\cdot f/f'\approx 0{,}118632, então x_{2}\approx 1{,}992479.
  • Uma iteracão adicional dá x_{3} muito próximo de 2 (diferença menor que 10^{-6}). Portanto o Newton modificado converge rápido — em poucas iterações atingimos a precisão \varepsilon=10^{-6}.

Passo 8

Aplicação do método de Newton padrão para x=2 (mostrando problema de raiz múltipla):
  • Fórmula padrão usa x_{n+1}=x_{n}-f(x_{n})/f'(x_{n}). Começando em x_{0}=3 temos: x_{1}=3-\frac{4}{9}=2{,}5555556,\quad x_{2}\approx 2{,}29984,\quad x_{3}\approx 2{,}103\text{ (aprox.)},\ldots
A convergência é bem mais lenta do que no caso de raiz simples: a razão dos erros tende a uma constante (convergência linear) em vez de quadrática. Na prática, Newton padrão requer mais iterações para chegar a |x_{n}-2|<10^{-6} quando a raiz é dupla. Por isso, para raízes múltiplas é recomendado usar a versão modificada (se m conhecida) ou aplicar transformações (fatorar polinômio, etc.).

Passo 9

Explico brevemente o método da secante e aplico (resumo) para x=2:
  • Fórmula da secante:
x_{n+1}=x_{n}-f(x_{n})\frac{x_{n}-x_{n-1}}{f(x_{n})-f(x_{n-1})}.
  • A secante não requer derivada explícita e normalmente tem ordem de convergência ~1,618 (superlinear, mas não tão rápida quanto Newton quadrático). Para raiz dupla, a secante também perde eficiência; convergirá mais lentamente do que Newton modificado. Em testes numéricos (com chutes iniciais x_{0}=3,\;x_{1}=2{,}5 por exemplo) obtém‑se convergência para 2 em algumas dezenas de iterações até atingir \varepsilon=10^{-6}, menos eficiente que Newton modificado, mas muitas vezes melhor do que Newton padrão para multiplicidade>1 dependendo dos chutes.

Passo 10

Resumo/comparação final dos métodos, com observações práticas:
  • Localização analítica: raízes exatas \,x=-1 e \,x=2 (dupla). Isso é o ideal se o polinômio pode ser fatorado.
  • Raiz x=-1 (simples):
    • Bisseção: ~21 iterações para \varepsilon=10^{-6}.
    • Newton: ~4–5 iterações (rápido, convergência quadrática).
    • Secante: converge também razoavelmente rápido (algumas iterações, menos regular que Newton).
  • Raiz x=2 (multiplicidade 2):
    • Bisseção: não é aplicável por falta de mudança de sinal.
    • Newton padrão: converge, mas lentamente (convergência linear) — requer várias iterações.
    • Newton modificado (usando m=2): converge rapidamente (poucas iterações) para \varepsilon=10^{-6}.
    • Secante: converge, porém com velocidade inferior ao Newton modificado; em geral precisa de mais iterações.
  • Conclusão prática: quando a multiplicidade é conhecida, usar Newton modificado; quando não se conhece a multiplicidade, uma boa prática é fatorar se possível, ou usar bisseção para localizar raízes simples e Newton depois para refinar.

Resposta

-1{,}000000
2{,}000000

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