Para cada uma das equações a seguir localize as raízes reais e usando os métodos estudados as encontre, caso exista existam, com precisão
. Compare os resultados.
Passo 1
O enunciado pede o seguinte: localizar as raízes reais da equação
e, usando métodos numéricos estudados, encontrá‑las (quando existirem) com precisão
. Também quer que os resultados sejam comparados.
Informações dadas: a equação cúbica e a precisão
. Não há outras restrições sobre métodos, então vou aplicar métodos clássicos: fatoração/analítica (para localizar as raízes), bisseção (quando for aplicável), método de Newton (padrão), método de Newton modificado para raiz múltipla e método da secante. Vou comparar convergência e número de iterações.
Informações dadas: a equação cúbica
Passo 2
Primeiro vamos olhar a função e localizar raízes analiticamente (isso ajuda a escolher pontos iniciais e entender o comportamento):
Defina . Avaliando alguns pontos:
Defina
Logo
é raiz exata. Como é polinômio, podemos dividir por
para reduzir o grau. Fazendo divisão sintética (ou divisão polinomial) por
obtemos o quociente
pois
Observe que
. Portanto as raízes do polinômio são:
Conclusão: existem duas raízes reais:
(simples) e
(dupla). A partir daqui faremos os métodos numéricos para encontrá‑las com
e comparar o desempenho.
Passo 3
Explico o método da bisseção (didaticamente) e aplico para a raiz
.
- Ideia do método: se
é contínua e , então existe pelo menos uma raiz em . Dividimos o intervalo ao meio e escolhemos o subintervalo que contém a mudança de sinal; repetimos até a largura do intervalo ser pequena o suficiente. - Fórmula do critério de iterações: para obter erro menor que
(usando critério de largura do intervalo), basta iterações com
Aplicação prática para
: escolha o intervalo inicial
. Temos
e
, logo existe pelo menos uma raiz em
. O comprimento inicial é
. Com
,
Portanto, em 21 iterações a bisseção garante aproximação com erro menor que
. O valor médio do intervalo após 21 iterações dá a aproximação
Observação: a bisseção é garantida, estável e lenta — exige ~21 iterações neste caso para a raiz
.
Passo 4
Explico o método de Newton (padrão), a fórmula e aplico para a raiz
.
- Fórmula do método de Newton:
onde
é a derivada de
. Aqui
- Critério de parada prático: parar quando
ou .
Aplicação (escolhi
porque
tornaria
ruim):
Cálculos (apresento as iterações principais com conta explicada):
-
. Temos , . -
. Calculei com frações para exatidão: , . -
. Computando e numericamente obtemos correção , então - A iteração seguinte dá
e logo
Resultado: o método de Newton encontrou a raiz
em cerca de 4–5 iterações (dependendo do critério) partindo de
. Conclusão: para raízes simples Newton é muito rápido (convergência quadrática local).
Passo 5
Comparo bisseção e Newton para a raiz
:
- Bisseção: garante convergência, previsível, ~21 iterações para
a partir do intervalo . - Newton: muito mais rápido (4–5 iterações aqui), desde que a derivada não seja nula no ponto inicial e que o chute inicial seja razoável.
Comentário prático: se não se conhece bem a localização da raiz, uma estratégia segura é usar bisseção até um intervalo pequeno e depois trocar para Newton para acelerar (híbrido).
Passo 6
Agora tratamos a raiz
(raiz dupla). Primeiro observações importantes para métodos que usam mudança de sinal:
- Avaliando sinais:
, . A função não muda de sinal em torno de ; de fato em torno de uma raiz de multiplicidade par a curva “toca” o eixo e volta, então não necessariamente muda de sinal. Assim, a bisseção (que exige ) NÃO é aplicável para isolar a raiz dupla por mudança de sinal. Só poderíamos usar bisseção se um dos extremos fosse exatamente (então já temos a raiz), mas isso não é método numérico iterativo útil aqui. - Consequência: precisamos de métodos que não dependam de mudança de sinal (Newton, secante, etc.). Porém, Newton padrão tem comportamento pior em raiz múltipla: a convergência deixa de ser quadrática e torna‑se linear (mais lenta). Existe uma versão modificada de Newton que melhora a convergência quando a multiplicidade
é conhecida.
Passo 7
Explico o método de Newton modificado (para raiz de multiplicidade
) e aplico para
.
- Se a raiz
tem multiplicidade , uma modificação é
Com
(conhecida aqui pela factoração), esta fórmula restaura convergência quadrática local e acelera muito a convergência.
Aplicação prática (escolhi
como chute inicial):
-
: , . Correção modificada . Logo - Computando
e numericamente (valores mostrados resumidos), temos , , correção , então - Uma iteracão adicional dá
muito próximo de (diferença menor que ). Portanto o Newton modificado converge rápido — em poucas iterações atingimos a precisão .
Passo 8
Aplicação do método de Newton padrão para
(mostrando problema de raiz múltipla):
- Fórmula padrão usa
. Começando em temos:
A convergência é bem mais lenta do que no caso de raiz simples: a razão dos erros tende a uma constante (convergência linear) em vez de quadrática. Na prática, Newton padrão requer mais iterações para chegar a
quando a raiz é dupla. Por isso, para raízes múltiplas é recomendado usar a versão modificada (se
conhecida) ou aplicar transformações (fatorar polinômio, etc.).
Passo 9
Explico brevemente o método da secante e aplico (resumo) para
:
- Fórmula da secante:
- A secante não requer derivada explícita e normalmente tem ordem de convergência ~1,618 (superlinear, mas não tão rápida quanto Newton quadrático). Para raiz dupla, a secante também perde eficiência; convergirá mais lentamente do que Newton modificado. Em testes numéricos (com chutes iniciais
por exemplo) obtém‑se convergência para em algumas dezenas de iterações até atingir , menos eficiente que Newton modificado, mas muitas vezes melhor do que Newton padrão para multiplicidade>1 dependendo dos chutes.
Passo 10
Resumo/comparação final dos métodos, com observações práticas:
- Localização analítica: raízes exatas
e (dupla). Isso é o ideal se o polinômio pode ser fatorado. - Raiz
(simples): - Bisseção: ~21 iterações para
. - Newton: ~4–5 iterações (rápido, convergência quadrática).
- Secante: converge também razoavelmente rápido (algumas iterações, menos regular que Newton).
- Bisseção: ~21 iterações para
- Raiz
(multiplicidade ): - Bisseção: não é aplicável por falta de mudança de sinal.
- Newton padrão: converge, mas lentamente (convergência linear) — requer várias iterações.
- Newton modificado (usando
): converge rapidamente (poucas iterações) para . - Secante: converge, porém com velocidade inferior ao Newton modificado; em geral precisa de mais iterações.
- Conclusão prática: quando a multiplicidade é conhecida, usar Newton modificado; quando não se conhece a multiplicidade, uma boa prática é fatorar se possível, ou usar bisseção para localizar raízes simples e Newton depois para refinar.