Para cada polinômio, calcule a Cota de Cauchy e determine um intervalo [-R, R] que contém todas as raízes reais. Em seguida, use uma tabela de sinais para localizar sub-intervalos de comprimento 1 contendo cada raiz. p(x)=x^{4}-10 x^{3}+35 x^{2}-50 x+24
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Calcular a Cota de Cauchy do polinômio e determinar um intervalo [-R,R] que contém todas as raízes reais.
Usar uma tabela de sinais para localizar sub-intervalos de comprimento 1 que contenham cada raiz real.
Informações fornecidas (pegas do enunciado):
O polinômio é p(x)=x^{4}-10 x^{3}+35 x^{2}-50 x+24.
Coeficientes (do termo de maior grau para o termo constante): 1,\,-10,\,35,\,-50,\,24.
Passo 2
O que é a Cota de Cauchy (forma usada aqui) e como calculá-la:
Para um polinômio geral a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0 com a_n\neq0, uma forma simples da cota de Cauchy diz que toda raiz complexa \alpha satisfaz
No caso de polinômio monico (coeficiente líder a_n=1), isso fica
|\alpha|\le 1+\max_{0\le k\le n-1}|a_k|.
Explicação curta e intuitiva: essa cota vem de comparar termos do polinômio; garante um limite onde o termo de maior grau domina os outros se |x| for maior que esse número.
Aplicando ao nosso polinômio p(x) (que é monico), os coeficientes abaixo do líder são -10,35,-50,24. O maior módulo é |-50|=50. Assim a Cota de Cauchy é
R = 1 + 50 = 51.
Portanto um intervalo que contém todas as raízes reais é
[-R,R]=[-51,51].
Passo 3
Agora vamos localizar as raízes reais com mais precisão usando ideias simples que ajudam muito numa prova:
Regra de sinais de Descartes (breve explicação): o número de raízes reais positivas (contadas com multiplicidade) é igual ao número de variações de sinal entre os coeficientes de p(x), ou menor que esse número por um inteiro par. Isso nos dá uma ideia de quantas raízes positivas existem.
Avaliando sinais dos coeficientes de p(x)=x^{4}-10x^{3}+35x^{2}-50x+24: a sequência de sinais é +,-,+,-,+. Há 4 variações de sinal, então podem existir 4, 2 ou 0 raízes positivas (contadas com multiplicidade).
todos os coeficientes são positivos, sem variações de sinal, logo não há raízes negativas. Conclusão: todas as raízes reais (se existirem) são não negativas.
Outra ferramenta muito prática: Teorema das raízes racionais (ou racional root test) — quaisquer raízes racionais escritas em forma irreduzível \frac{p}{q} têm p divisor de a_0 e q divisor de a_n. Como a_n=1, possíveis raízes inteiras são divisores de 24: \pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm8,\pm12,\pm24. Já sabemos que não haverá negativas, então testamos 1,2,3,4,6,8,12,24.
Passo 4
Testando candidatos inteiros (cálculos passo a passo):