Em uma determinada fábrica, a cada 30 dias é feito um levantamento do acumulado de peças produzidas com algum defeito. Na tabela abaixo temos a quantidade de peças produzidas nos seis primeiros meses do ano que apresentaram algum defeito. Faça o que se pede nos itens a seguir.
Quantidade x de dias 30 60 90 120 150 180
Quantidade y de peças com defeito 856 1578 2003 3095 3918 5105
Calcule a previsão de peças com defeito que serão produzidas durante 1 ano de produção com cada um dos polinômios interpoladores encontrados.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a cada 30 dias a fábrica tabula quantas peças deram defeito, e temos seis pontos:
.
O que precisamos aqui é construir o polinômio interpolador que passa por esses seis pontos (grau 5) – usando, por exemplo, a forma de Lagrange ou a forma de Newton com diferenças finitas – e depois extrapolar esse polinômio para dias (um ano).
Conteúdo da matéria:
  • Polinômio interpolador de Lagrange
  • Polinômio interpolador de Newton (diferenças finitas)
  • Extrapolação de valor

Passo 2

Primeiro, vou explicar rapidinho a ideia da forma de Newton com diferenças finitas, que fica super organizada quando os P(x)=y0 + x-x01!h,De estão igualmente espaçados (aqui, a cada 30 dias).
  1. A gente monta uma tabela de diferenças sucessivas a partir dos valores de .
  2. Define (o espaçamento) e .
  3. No final, o polinômio de Newton fica:
onde é a -ésima diferença na primeira linha da tabela.

Passo 3

Vamos montar a tabela de diferenças (apenas os valores iniciais de cada ordem):
y:
l y0=856, y1=1578, y2=2003, y3=3095, y4=3918, y5=5105
1ª diferença ( De):
De
2ª diferença ( De):
De
3ª diferença ( De):
4ª diferença ( ):
5ª diferença ( ):
(Para poupar espaço, mostrei só o “início” de cada ordem.)

Passo 4

Queremos t = x - x0h = 360-3030 = 11 . Definimos
P(360) = y0 + t,De
Então o polinômio em forma “em Termo 0: &856 Termo 1: &11cdot722 = 7,942 Termo 2: &11cdot102,(-297)=55cdot(-297)=-16,335 Termo 3: &11cdot10cdot96,964=165cdot964=159,060 Termo 4: &11cdot10cdot9cdot824,(-1900)=330cdot(-1900)=-627,000 Termo 5: &11cdot10cdot9cdot8cdot7120,3469 =462cdot3469=1,602,678 ” vira:
P(360)=856 + 7,942 -16,335 +159,060 -627,000 +1,602,678 approx 1,127,201
Substituindo e as diferenças que a gente calculou:
Somando tudo:
Na forma de Lagrange, daria exatamente o mesmo valor (só que exigiríamos escrever todos os , mas o número final é idêntico).

Resposta

A previsão de peças com defeito após 360 dias (1 ano), usando qualquer um dos polinômios interpoladores (forma de Newton ou de Lagrange), é aproximadamente
boxed1,127,201 peças com defeito ç

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