Em uma determinada fábrica, a cada 30 dias é feito um levantamento do acumulado de peças produzidas com algum defeito. Na tabela abaixo temos a quantidade de peças produzidas nos seis primeiros meses do ano que apresentaram algum defeito. Faça o que se pede nos itens a seguir.
Quantidade
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30 | 60 | 90 | 120 | 150 | 180 |
---|---|---|---|---|---|---|
Quantidade
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856 | 1578 | 2003 | 3095 | 3918 | 5105 |
Calcule a previsão de peças com defeito que serão produzidas durante 1 ano de produção com cada um dos polinômios interpoladores encontrados.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a cada 30 dias a fábrica tabula quantas peças deram defeito, e temos seis pontos:
.
O que precisamos aqui é construir o polinômio interpolador que passa por esses seis pontos (grau 5) – usando, por exemplo, a forma de Lagrange ou a forma de Newton com diferenças finitas – e depois extrapolar esse polinômio para dias (um ano).
O que precisamos aqui é construir o polinômio interpolador que passa por esses seis pontos (grau 5) – usando, por exemplo, a forma de Lagrange ou a forma de Newton com diferenças finitas – e depois extrapolar esse polinômio para
Conteúdo da matéria:
- Polinômio interpolador de Lagrange
- Polinômio interpolador de Newton (diferenças finitas)
- Extrapolação de valor
Passo 2
Primeiro, vou explicar rapidinho a ideia da forma de Newton com diferenças finitas, que fica super organizada quando os
estão igualmente espaçados (aqui, a cada 30 dias).
- A gente monta uma tabela de diferenças sucessivas a partir dos valores de
. - Define
(o espaçamento) e . - No final, o polinômio de Newton fica:
onde
é a
-ésima diferença na primeira linha da tabela.
Passo 3
Vamos montar a tabela de diferenças (apenas os valores iniciais de cada ordem):
y:
1ª diferença (
):
2ª diferença (
):
3ª diferença (
):
4ª diferença (
):
5ª diferença (
):
(Para poupar espaço, mostrei só o “início” de cada ordem.)
Passo 4
Queremos
. Definimos
Então o polinômio em forma “em
” vira:
Substituindo
e as diferenças que a gente calculou:
Somando tudo:
Na forma de Lagrange, daria exatamente o mesmo valor (só que exigiríamos escrever todos os
, mas o número final é idêntico).
Resposta
A previsão de peças com defeito após 360 dias (1 ano), usando qualquer um dos polinômios interpoladores (forma de Newton ou de Lagrange), é aproximadamente