Resolva as inequações:
(\sqrt{5})^{x^{2}-3 x} \geq(\sqrt{5})^{4}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
(\sqrt{5})^{x^{2}-3x} \geq (\sqrt{5})^{4}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A base é \sqrt{5}.
  • A expressão do expoente é x^{2}-3x.
  • A desigualdade compara duas potências com a mesma base.
  • A incógnita x é um número real (não há restrição de domínio adicional).

Passo 2

Ideia-chave (explicação didática): quando temos uma desigualdade entre potências com a mesma base, devemos verificar se a função potência com essa base é crescente ou decrescente, para poder comparar os expoentes diretamente.
Fato importante e por que ele é verdadeiro:
  • Se a base a satisfaz a>1, então a função u\mapsto a^{u} é crescente: isto é, para quaisquer u e v reais,
a^{u}\ge a^{v}\quad\Longleftrightarrow\quad u\ge v.
Prova simples (intuitiva): como a>1, temos \ln a>0. Aplicando o logaritmo natural (função estritamente crescente) aos dois lados de a^{u}\ge a^{v} obtemos
u\ln a \ge v\ln a.
Como \ln a>0, podemos dividir por \ln a sem inverter a desigualdade, ficando u\ge v. Assim a equivalência está justificada.
No nosso caso, a base é \sqrt{5}. Como \sqrt{5}>1, podemos aplicar essa regra e comparar diretamente os expoentes.

Passo 3

Aplicando a regra do passo anterior à nossa desigualdade, obtemos a inequação equivalente entre expoentes:
x^{2}-3x \ge 4.

Passo 4

Transformamos a inequação em uma forma padrão (diferença igual a zero):
x^{2}-3x-4 \ge 0.
Agora vamos resolver essa inequação quadrática. Primeiro encontramos as raízes do polinômio x^{2}-3x-4. Podemos usar fatoração ou fórmula quadrática. Vou usar o método que dá as raízes explicitamente: o discriminante é
\Delta = (-3)^{2}-4\cdot 1\cdot(-4)=9+16=25.
As raízes são
x=\frac{3\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{3\pm 5}{2}.
Portanto as raízes são x=-1 e x=4.

Passo 5

Agora resolvemos a inequação x^{2}-3x-4\ge 0. Observações:
  • O coeficiente de x^{2} é positivo ( 1>0), então a parábola y=x^{2}-3x-4 abre para cima.
  • Para uma parábola que abre para cima, a expressão é maior ou igual a zero fora do intervalo entre as raízes, e menor que zero entre as raízes.
Podemos também testar valores para ter certeza:
  • Para x=0 (que está entre -1 e 4) temos 0-0-4=-4<0.
  • Para x=-2 (à esquerda de -1) temos (-2)^{2}-3(-2)-4=4+6-4=6>0.
  • Para x=5 (à direita de 4) temos 25-15-4=6>0.
Portanto a solução da inequação quadrática é
x\in (-\infty,-1]\cup[4,+\infty).

Passo 6

Interpretação final: como a desigualdade entre potências foi equivalente à desigualdade entre expoentes (passos 2–3) e a solução da desigualdade entre expoentes é o conjunto do passo 5, essa é a solução da inequação original.

Resposta

(-\infty,-1]\cup[4,+\infty)

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