Resolva as inequações:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
Informações dadas e observações imediatas:
- A base é
. - A expressão do expoente é
. - A desigualdade compara duas potências com a mesma base.
- A incógnita
é um número real (não há restrição de domínio adicional).
Passo 2
Ideia-chave (explicação didática): quando temos uma desigualdade entre potências com a mesma base, devemos verificar se a função potência com essa base é crescente ou decrescente, para poder comparar os expoentes diretamente.
Fato importante e por que ele é verdadeiro:
- Se a base
satisfaz , então a função é crescente: isto é, para quaisquer e reais,
Prova simples (intuitiva): como
, temos
. Aplicando o logaritmo natural (função estritamente crescente) aos dois lados de
obtemos
Como
, podemos dividir por
sem inverter a desigualdade, ficando
. Assim a equivalência está justificada.
No nosso caso, a base é
. Como
, podemos aplicar essa regra e comparar diretamente os expoentes.
Passo 3
Aplicando a regra do passo anterior à nossa desigualdade, obtemos a inequação equivalente entre expoentes:
Passo 4
Transformamos a inequação em uma forma padrão (diferença igual a zero):
Agora vamos resolver essa inequação quadrática. Primeiro encontramos as raízes do polinômio
. Podemos usar fatoração ou fórmula quadrática. Vou usar o método que dá as raízes explicitamente: o discriminante é
As raízes são
Portanto as raízes são
e
.
Passo 5
Agora resolvemos a inequação
. Observações:
- O coeficiente de
é positivo ( ), então a parábola abre para cima. - Para uma parábola que abre para cima, a expressão é maior ou igual a zero fora do intervalo entre as raízes, e menor que zero entre as raízes.
Podemos também testar valores para ter certeza:
- Para
(que está entre e ) temos . - Para
(à esquerda de ) temos . - Para
(à direita de ) temos .
Portanto a solução da inequação quadrática é
Passo 6
Interpretação final: como a desigualdade entre potências foi equivalente à desigualdade entre expoentes (passos 2–3) e a solução da desigualdade entre expoentes é o conjunto do passo 5, essa é a solução da inequação original.