Encontre uma decomposição L U para as matrizes abaixo
\text { a) }\left(\begin{array}{cc}3 & 1 \\\ -6 & -4\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede a decomposição LU da matriz
A = \begin{pmatrix}3 & 1 \\\\ -6 & -4\end{pmatrix}.
O método de Doolittle constrói L com 1s na diagonal e U triangular superior, de modo que A = LU.

Passo 2

Escolhemos o pivô u_{11}=3. Para zerar o elemento abaixo (posição (2,1)), calculamos o multiplicador
\ell_{21} = \frac{-6}{3} = -2.

Passo 3

Usando \ell_{21} na eliminação, atualizamos a entrada (2,2) de U:
u_{22} = -4 - (\ell_{21}\cdot 1) = -4 -(-2)\cdot1 = -4 + 2 = -2.
Como não há mais elementos a eliminar, obtemos
U = \begin{pmatrix}3 & 1 \\\\ 0 & -2\end{pmatrix}.

Passo 4

O L reúne os multiplicadores com 1s na diagonal principal, ou seja,
L = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ -2 & 1\end{pmatrix}.

Resposta

L = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ -2 & 1\end{pmatrix}, \quad U = \begin{pmatrix}3 & 1 \\\\ 0 & -2\end{pmatrix}.

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