Para cada uma das iterações abaixo, primeiro encontre uma equação que o método de ponto fixo correspondente resolveria e depois verifique se o ponto fixo dado seria convergente ou divergente.
(a)
x_{n+1}=x_{n}+\operatorname{sen}\left(3 x_{n}\right) \quad ponto fixo: \pi

Passo 1

O enunciado dá a iteração
x_{n+1}=x_{n}+\sin(3x_{n})
e pede duas coisas: (i) encontrar a equação que o método de ponto fixo correspondente resolveria (ou seja, a equação satisfeita pelos pontos fixos) e (ii) verificar se o ponto fixo dado \pi seria convergente ou divergente. Informações relevantes: a função de iteração é g(x)=x+\sin(3x) e o ponto fixo a examinar é x^*=\pi.

Passo 2

O que significa “equação que o método de ponto fixo resolveria”? Significa escrever a condição de ponto fixo g(x)=x. Para a nossa g essa condição é
g(x)=x \quad\Longrightarrow\quad x+\sin(3x)=x.
Subtraindo x dos dois lados obtemos a equação mais simples que os pontos fixos devem satisfazer:
\sin(3x)=0.
Agora explico como resolver essa equação: a função seno é zero quando o argumento é múltiplo inteiro de \pi. Logo
3x = k\pi,\quad k\in\mathbb{Z},
e isolando x temos
x=\frac{k\pi}{3},\quad k\in\mathbb{Z}.
Isso dá todos os pontos fixos da iteração.

Passo 3

Verifico se o ponto dado \pi é um desses pontos fixos. Coloco \pi na fórmula:
\pi = \frac{k\pi}{3} \quad\Rightarrow\quad k=3.
Como k=3 é inteiro, \pi é de fato um ponto fixo (confirmado): \pi satisfaz \sin(3\pi)=0.

Passo 4

Agora vou ensinar o critério usado para decidir convergência local de um ponto fixo para iterações do tipo x_{n+1}=g(x_n). Regra prática (e que vem da linearização/Taylor): se g é diferenciável e x^* é um ponto fixo, então, para aproximações locais pequenas,
x_{n+1}-x^* \approx g'(x^*)\,(x_n-x^*).
Isto significa que o erro é multiplicado aproximadamente por g'(x^*) a cada iteração. Portanto:
  • Se |g'(x^*)|<1, o erro tende a zero (contracção) e o ponto fixo é localmente convergente.
  • Se |g'(x^*)|>1, o erro cresce (repulsor) e o ponto fixo é localmente divergente.
  • Se |g'(x^*)|=1, a análise linear não decide; precisa-se de termos de ordem superior (caso especial).

Passo 5

Calculo g'(x) para a nossa g(x)=x+\sin(3x). A derivada de x é 1 e a derivada de \sin(3x) é 3\cos(3x). Logo
g'(x)=1+3\cos(3x).
Avalio em x^*=\pi. Primeiro note que 3\pi=\pi+2\pi, e como o cosseno tem período 2\pi temos \cos(3\pi)=\cos(\pi)=-1. Assim
g'(\pi)=1+3\cos(3\pi)=1+3(-1)=1-3=-2.
O valor absoluto é |g'(\pi)|=2, que é maior que 1.

Passo 6

Interpretação final: como |g'(\pi)|=2>1, pelo critério linear o ponto fixo \pi é repulsivo — pequenas perturbações em torno de \pi crescem de magnitude aproximadamente por um fator 2 a cada iteração (além disso o sinal negativo indica que o erro troca de sinal a cada passo, ou seja, há oscilação crescente). Portanto o ponto fixo \pi é divergente para a iteração dada.

Resposta

\sin(3x)=0\Rightarrow x=\dfrac{k\pi}{3},\\ k\in\mathbb{Z}.
x^*=\pi: divergente (pois |g'(\pi)|=2>1).

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