Para cada uma das iterações abaixo, primeiro encontre uma equação que o método de ponto fixo correspondente resolveria e depois verifique se o ponto fixo dado seria convergente ou divergente.
(a)
x_{n+1}=x_{n}+\operatorname{sen}\left(3 x_{n}\right) \quad ponto fixo: \pi
(a)
x_{n+1}=x_{n}+\operatorname{sen}\left(3 x_{n}\right) \quad ponto fixo: \pi
Passo 1
O enunciado dá a iteração
e pede duas coisas: (i) encontrar a equação que o método de ponto fixo correspondente resolveria (ou seja, a equação satisfeita pelos pontos fixos) e (ii) verificar se o ponto fixo dado
seria convergente ou divergente. Informações relevantes: a função de iteração é
e o ponto fixo a examinar é
.
Passo 2
O que significa “equação que o método de ponto fixo resolveria”? Significa escrever a condição de ponto fixo
. Para a nossa
essa condição é
Subtraindo
dos dois lados obtemos a equação mais simples que os pontos fixos devem satisfazer:
Agora explico como resolver essa equação: a função seno é zero quando o argumento é múltiplo inteiro de
. Logo
e isolando
temos
Isso dá todos os pontos fixos da iteração.
Passo 3
Verifico se o ponto dado
é um desses pontos fixos. Coloco
na fórmula:
Como
é inteiro,
é de fato um ponto fixo (confirmado):
satisfaz
.
Passo 4
Agora vou ensinar o critério usado para decidir convergência local de um ponto fixo para iterações do tipo
. Regra prática (e que vem da linearização/Taylor): se
é diferenciável e
é um ponto fixo, então, para aproximações locais pequenas,
Isto significa que o erro é multiplicado aproximadamente por
a cada iteração. Portanto:
- Se
, o erro tende a zero (contracção) e o ponto fixo é localmente convergente. - Se
, o erro cresce (repulsor) e o ponto fixo é localmente divergente. - Se
, a análise linear não decide; precisa-se de termos de ordem superior (caso especial).
Passo 5
Calculo
para a nossa
. A derivada de
é
e a derivada de
é
. Logo
Avalio em
. Primeiro note que
, e como o cosseno tem período
temos
. Assim
O valor absoluto é
, que é maior que
.
Passo 6
Interpretação final: como
, pelo critério linear o ponto fixo
é repulsivo — pequenas perturbações em torno de
crescem de magnitude aproximadamente por um fator
a cada iteração (além disso o sinal negativo indica que o erro troca de sinal a cada passo, ou seja, há oscilação crescente). Portanto o ponto fixo
é divergente para a iteração dada.