Para cada uma das iterações abaixo, primeiro encontre uma equação que o método de ponto fixo correspondente resolveria e depois verifique se o ponto fixo dado seria convergente ou divergente.
(b)
x_{n+1}=\frac{x_{n}^{3}-2 x_{n}^{2}+4}{3} \quad ponto fixo: 1

Passo 1

O enunciado dá a iteração
x_{n+1}=\frac{x_n^{3}-2x_n^{2}+4}{3}
e indica o ponto fixo candidato 1. As duas tarefas pedidas são:
  1. encontrar a equação (isto é, o polinômio) que os pontos fixos satisfazem;
  2. verificar se o ponto fixo dado 1 é convergente ou divergente para a iteração (ou seja, se a iteração converge para 1 quando iniciada suficientemente perto).

Passo 2

Um ponto fixo p satisfaz p=g(p), onde g(x) é a função da iteração. Aqui
g(x)=\frac{x^{3}-2x^{2}+4}{3}.
Portanto a equação dos pontos fixos é
x = \frac{x^{3}-2x^{2}+4}{3}.
Multiplicando ambos os lados por 3 e recolhendo todos os termos no mesmo lado, obtemos a equação polinomial que os pontos fixos resolvem:
x^{3}-2x^{2}-3x+4=0.

Passo 3

Agora vamos explicar como decidir convergência/divergência de um ponto fixo p. Regra prática (critério pelo derivado): se g é diferenciável numa vizinhança de p e
|g'(p)|<1,
então p é um ponto fixo localmente atraente (a iteração converge para p se x_0 for suficientemente próximo); se
|g'(p)|>1,
então p é repulsivo (a iteração tende a afastar-se de p). Intuição via expansão de Taylor: escrevendo x_n=p+e_n com e_n pequeno,
e_{n+1}=g(p+e_n)-g(p)\approx g'(p)\,e_n,
logo, assintoticamente, o erro é multiplicado por aproximadamente g'(p) a cada passo. Se |g'(p)|<1 os erros diminuem geometricamente; se |g'(p)|>1 crescem.

Passo 4

Calculamos g'(x). Como
g(x)=\frac{x^{3}-2x^{2}+4}{3},
derivando termo a termo temos
g'(x)=\frac{3x^{2}-4x}{3}=x^{2}-\frac{4}{3}x.
Avaliaremos em p=1:
g'(1)=1^{2}-\frac{4}{3}\cdot 1=1-\frac{4}{3}=-\frac{1}{3}.
Então |g'(1)|=\frac{1}{3}<1. Pelo critério do passo anterior, isso implica que o ponto fixo 1 é localmente convergente para a iteração dada. Além disso, a convergência é linear (ordem 1) com razão assintótica |g'(1)|=\tfrac{1}{3}; o sinal negativo indica que os erros mudam de sinal a cada iteração (oscilações amortecidas).

Passo 5

Comentário prático para a prova: para decidir rápido se um ponto fixo é atraente, calcule g'(x) e avalie em p. Se o valor absoluto for menor que 1, declare convergência local; se maior que 1, declare divergência. Aqui já fizemos isso e obtivemos |g'(1)|=\tfrac{1}{3}, portanto convergente. Respire fundo — está feito, e é um procedimento direto de aplicar sempre que tiver uma iteração do tipo x_{n+1}=g(x_n).

Resposta

x^{3}-2x^{2}-3x+4=0.
Convergente (local), pois |g'(1)|=\tfrac{1}{3}<1; convergência linear com razão assintótica \tfrac{1}{3}.

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