Para cada uma das iterações abaixo, primeiro encontre uma equação que o método de ponto fixo correspondente resolveria e depois verifique se o ponto fixo dado seria convergente ou divergente.
(b)
x_{n+1}=\frac{x_{n}^{3}-2 x_{n}^{2}+4}{3} \quad ponto fixo: 1
(b)
x_{n+1}=\frac{x_{n}^{3}-2 x_{n}^{2}+4}{3} \quad ponto fixo: 1
Passo 1
O enunciado dá a iteração
e indica o ponto fixo candidato
. As duas tarefas pedidas são:
- encontrar a equação (isto é, o polinômio) que os pontos fixos satisfazem;
- verificar se o ponto fixo dado
é convergente ou divergente para a iteração (ou seja, se a iteração converge para quando iniciada suficientemente perto).
Passo 2
Um ponto fixo
satisfaz
, onde
é a função da iteração. Aqui
Portanto a equação dos pontos fixos é
Multiplicando ambos os lados por
e recolhendo todos os termos no mesmo lado, obtemos a equação polinomial que os pontos fixos resolvem:
Passo 3
Agora vamos explicar como decidir convergência/divergência de um ponto fixo
. Regra prática (critério pelo derivado): se
é diferenciável numa vizinhança de
e
então
é um ponto fixo localmente atraente (a iteração converge para
se
for suficientemente próximo); se
então
é repulsivo (a iteração tende a afastar-se de
). Intuição via expansão de Taylor: escrevendo
com
pequeno,
logo, assintoticamente, o erro é multiplicado por aproximadamente
a cada passo. Se
os erros diminuem geometricamente; se
crescem.
Passo 4
Calculamos
. Como
derivando termo a termo temos
Avaliaremos em
:
Então
. Pelo critério do passo anterior, isso implica que o ponto fixo
é localmente convergente para a iteração dada. Além disso, a convergência é linear (ordem 1) com razão assintótica
; o sinal negativo indica que os erros mudam de sinal a cada iteração (oscilações amortecidas).
Passo 5
Comentário prático para a prova: para decidir rápido se um ponto fixo é atraente, calcule
e avalie em
. Se o valor absoluto for menor que
, declare convergência local; se maior que
, declare divergência. Aqui já fizemos isso e obtivemos
, portanto convergente. Respire fundo — está feito, e é um procedimento direto de aplicar sempre que tiver uma iteração do tipo
.
Resposta
Convergente (local), pois
; convergência linear com razão assintótica
.