Reescreva as equações nas formas
e
:
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado pede que reescrevamos a equação
em duas formas:
e
. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A equação contém
(exponencial) e (assumimos logaritmo natural). - Há restrição da parte do logaritmo: o argumento deve ser positivo, isto é
e também
(denominador não pode ser zero).
-
está definido para todo , então a única restrição de domínio vem do logaritmo acima.
Passo 2
Reescrever na forma
é direto: levamos tudo para um lado da igualdade (subtraímos o membro direito do esquerdo). Isso é válido porque subtrair o mesmo valor dos dois lados mantém a igualdade. Aplicando isso temos
Portanto podemos definir uma função
cujas raízes resolvem a equação original:
Explicando cada termo:
significa
multiplicado por
;
é constante;
é o logaritmo natural do quociente
.
Passo 3
Comentário sobre domínio para
: a expressão acima só faz sentido (no sentido real) quando o argumento do logaritmo é positivo, ou seja quando
com
. Essa condição deve ser verificada sempre que formos avaliar
ou aplicar métodos numéricos usando essa função.
Passo 4
Agora reescrever na forma
(forma de ponto fixo). Queremos isolar
num lado e colocar uma expressão em função de
no outro. Partimos da equação original e fazemos operações elementares (subtração de
, divisão por
) que são válidas quando
— sempre verdadeiro. Ou seja:
- subtrair
de ambos os lados:
- dividir ambos os lados por
:
Portanto uma forma conveniente de ponto fixo é
Escolhi essa forma porque usa operações básicas (log, exponencial, divisão) e vem diretamente da manipulação algébrica mais simples da equação original. Observação: outras rearranjos possíveis existem, mas para métodos iterativos é importante checar se
é adequada (ex.: se é contração) no intervalo de interesse antes de aplicar iteração.