Reescreva as equações nas formas f(x)=0 e f(x)=x :
(c)
x e^{x}+3=\log \left(\frac{2 x+3}{x+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede que reescrevamos a equação
x e^{x}+3=\log\!\left(\frac{2x+3}{x+1}\right)
em duas formas: f(x)=0 e f(x)=x. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A equação contém e^{x} (exponencial) e \log (assumimos logaritmo natural).
  • Há restrição da parte do logaritmo: o argumento deve ser positivo, isto é
\frac{2x+3}{x+1}>0,
e também x\neq -1 (denominador não pode ser zero).
  • e^{x} está definido para todo x\in\mathbb{R}, então a única restrição de domínio vem do logaritmo acima.

Passo 2

Reescrever na forma f(x)=0 é direto: levamos tudo para um lado da igualdade (subtraímos o membro direito do esquerdo). Isso é válido porque subtrair o mesmo valor dos dois lados mantém a igualdade. Aplicando isso temos
x e^{x}+3-\log\!\left(\frac{2x+3}{x+1}\right)=0.
Portanto podemos definir uma função f cujas raízes resolvem a equação original:
f(x)=x e^{x}+3-\log\!\left(\frac{2x+3}{x+1}\right).
Explicando cada termo: x e^{x} significa x multiplicado por e^{x}; 3 é constante; \log\!\left(\frac{2x+3}{x+1}\right) é o logaritmo natural do quociente \frac{2x+3}{x+1}.

Passo 3

Comentário sobre domínio para f(x): a expressão acima só faz sentido (no sentido real) quando o argumento do logaritmo é positivo, ou seja quando
\frac{2x+3}{x+1}>0,
com x\neq -1. Essa condição deve ser verificada sempre que formos avaliar f(x) ou aplicar métodos numéricos usando essa função.

Passo 4

Agora reescrever na forma f(x)=x (forma de ponto fixo). Queremos isolar x num lado e colocar uma expressão em função de x no outro. Partimos da equação original e fazemos operações elementares (subtração de 3, divisão por e^{x}) que são válidas quando e^{x}\neq 0 — sempre verdadeiro. Ou seja:
  1. subtrair 3 de ambos os lados:
x e^{x}=\log\!\left(\frac{2x+3}{x+1}\right)-3,
  1. dividir ambos os lados por e^{x}:
x=\frac{\log\!\left(\frac{2x+3}{x+1}\right)-3}{e^{x}}.
Portanto uma forma conveniente de ponto fixo é
x=g(x)\quad\text{com}\quad g(x)=\frac{\log\!\left(\frac{2x+3}{x+1}\right)-3}{e^{x}}.
Escolhi essa forma porque usa operações básicas (log, exponencial, divisão) e vem diretamente da manipulação algébrica mais simples da equação original. Observação: outras rearranjos possíveis existem, mas para métodos iterativos é importante checar se g é adequada (ex.: se é contração) no intervalo de interesse antes de aplicar iteração.

Resposta

f(x)=x e^{x}+3-\log\!\left(\dfrac{2x+3}{x+1}\right)\n
x=\dfrac{\log\!\left(\dfrac{2x+3}{x+1}\right)-3}{e^{x}}

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