Para cada uma das iterações abaixo, primeiro encontre uma equação que o método de ponto fixo correspondente resolveria e depois verifique se o ponto fixo dado seria convergente ou divergente.
(c)
x_{n+1}=\frac{x_{n}^{2}+1}{2 x_{n}+1} \quad ponto fixo: \frac{\sqrt{5}-1}{2}

Passo 1

O enunciado dá a iteração
x_{n+1}=\frac{x_{n}^{2}+1}{2x_{n}+1}
e informa como ponto fixo candidato \displaystyle p=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.
As duas tarefas pedidas são: (1) encontrar a equação que o método de ponto fixo resolve (ou seja, a equação cujas raízes são os pontos fixos de g), e (2) verificar se o ponto fixo dado é convergente ou divergente para a iteração proposta.

Passo 2

Definimos a função de iteração g pela relação da iteração. Escrevemos explicitamente:
g(x)=\frac{x^{2}+1}{2x+1}.
Um ponto fixo x satisfaz a equação \displaystyle x=g(x). Essa é a equação que o método de ponto fixo resolve: procurar x tal que x=g(x).

Passo 3

Vamos transformar a equação \displaystyle x=g(x) numa equação algébrica mais simples. Igualando e fazendo a multiplicação:
x=\frac{x^{2}+1}{2x+1}
x(2x+1)=x^{2}+1
2x^{2}+x=x^{2}+1
x^{2}+x-1=0.
Portanto a equação resolvida pelo método de ponto fixo é \displaystyle x^{2}+x-1=0.

Passo 4

Resolvendo a quadrática \displaystyle x^{2}+x-1=0 pela fórmula de Bhaskara (ou completando quadrado): o discriminante é \Delta=1^{2}-4(1)(-1)=5. Assim as raízes são
x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}.
Essas são os pontos fixos de g. O ponto fixo informado no enunciado é \displaystyle p=\frac{\sqrt{5}-1}{2}, que corresponde à raiz com sinal + (aproximadamente 0{,}618). A outra raiz é \displaystyle \frac{-1-\sqrt{5}}{2}\approx -1{,}618.

Passo 5

Agora precisamos verificar convergência do ponto fixo p. Vou explicar a regra prática que usamos em ponto fixo: se g é diferenciável perto de p e \displaystyle |g'(p)|<1, então a iteração x_{n+1}=g(x_n) converge localmente para p para aproximações iniciais próximas; se \displaystyle |g'(p)|>1 então p é repulsor (diverge); se \displaystyle |g'(p)|=1 o teste é inconclusivo. A ideia por trás disso vem da linearização do mapa g perto de p: o erro e_{n}=x_{n}-p satisfaz, para small e_n,
e_{n+1}\approx g'(p)\,e_{n},
logo a razão do erro é aproximadamente g'(p).

Passo 6

Vamos calcular a derivada g'(x) passo a passo usando a regra do quociente. Para
g(x)=\frac{x^{2}+1}{2x+1},
a derivada é
g'(x)=\frac{(2x)(2x+1)-(x^{2}+1)\cdot 2}{(2x+1)^{2}}.
Agora simplificamos o numerador: primeiro expandimos
(2x)(2x+1)=4x^{2}+2x,
e
(x^{2}+1)\cdot 2=2x^{2}+2.
Subtraindo,
4x^{2}+2x-(2x^{2}+2)=2x^{2}+2x-2.
Fatorando 2,
2x^{2}+2x-2=2(x^{2}+x-1).
Portanto obtemos a forma simplificada
g'(x)=\frac{2\bigl(x^{2}+x-1\bigr)}{(2x+1)^{2}}.

Passo 7

Agora avaliamos g'(x) no ponto fixo p. Como p é raiz de \displaystyle x^{2}+x-1=0, temos \displaystyle p^{2}+p-1=0. Substituindo isso em g'(x) dá:
g'(p)=\frac{2\cdot 0}{(2p+1)^{2}}=0.
Logo \displaystyle |g'(p)|=0<1. Pelo critério apresentado no Passo 5, isso garante que p é um ponto fixo atrator: a iteração converge localmente para p se a aproximação inicial estiver suficientemente próxima. Além disso, como g'(p)=0, a convergência é mais rápida que linear (é superlinear; tipicamente de ordem pelo menos 2 — na prática isso significa que os erros diminuem muito rápido depois de já estar perto).

Passo 8

Verificação técnica: precisamos também garantir que a função g esteja bem definida em torno de p, isto é, 2x+1\neq 0 perto de p. Para p=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2} verificamos 2p+1=\sqrt{5}>0, então não há problema de divisão por zero e tudo está consistente.

Resposta

\displaystyle x^{2}+x-1=0
convergente (pois \displaystyle g'(p)=0, logo |g'(p)|=0<1).

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