Para cada uma das iterações abaixo, primeiro encontre uma equação que o método de ponto fixo correspondente resolveria e depois verifique se o ponto fixo dado seria convergente ou divergente.
(c)
x_{n+1}=\frac{x_{n}^{2}+1}{2 x_{n}+1} \quad ponto fixo: \frac{\sqrt{5}-1}{2}
(c)
x_{n+1}=\frac{x_{n}^{2}+1}{2 x_{n}+1} \quad ponto fixo: \frac{\sqrt{5}-1}{2}
Passo 1
O enunciado dá a iteração
e informa como ponto fixo candidato
.
As duas tarefas pedidas são: (1) encontrar a equação que o método de ponto fixo resolve (ou seja, a equação cujas raízes são os pontos fixos de ), e (2) verificar se o ponto fixo dado é convergente ou divergente para a iteração proposta.
As duas tarefas pedidas são: (1) encontrar a equação que o método de ponto fixo resolve (ou seja, a equação cujas raízes são os pontos fixos de
Passo 2
Definimos a função de iteração
pela relação da iteração. Escrevemos explicitamente:
Um ponto fixo
satisfaz a equação
. Essa é a equação que o método de ponto fixo resolve: procurar
tal que
.
Passo 3
Vamos transformar a equação
numa equação algébrica mais simples. Igualando e fazendo a multiplicação:
Portanto a equação resolvida pelo método de ponto fixo é
.
Passo 4
Resolvendo a quadrática
pela fórmula de Bhaskara (ou completando quadrado): o discriminante é
. Assim as raízes são
Essas são os pontos fixos de
. O ponto fixo informado no enunciado é
, que corresponde à raiz com sinal
(aproximadamente
). A outra raiz é
.
Passo 5
Agora precisamos verificar convergência do ponto fixo
. Vou explicar a regra prática que usamos em ponto fixo: se
é diferenciável perto de
e
, então a iteração
converge localmente para
para aproximações iniciais próximas; se
então
é repulsor (diverge); se
o teste é inconclusivo. A ideia por trás disso vem da linearização do mapa
perto de
: o erro
satisfaz, para small
,
logo a razão do erro é aproximadamente
.
Passo 6
Vamos calcular a derivada
passo a passo usando a regra do quociente. Para
a derivada é
Agora simplificamos o numerador: primeiro expandimos
e
Subtraindo,
Fatorando
,
Portanto obtemos a forma simplificada
Passo 7
Agora avaliamos
no ponto fixo
. Como
é raiz de
, temos
. Substituindo isso em
dá:
Logo
. Pelo critério apresentado no Passo 5, isso garante que
é um ponto fixo atrator: a iteração converge localmente para
se a aproximação inicial estiver suficientemente próxima. Além disso, como
, a convergência é mais rápida que linear (é superlinear; tipicamente de ordem pelo menos 2 — na prática isso significa que os erros diminuem muito rápido depois de já estar perto).
Passo 8
Verificação técnica: precisamos também garantir que a função
esteja bem definida em torno de
, isto é,
perto de
. Para
verificamos
, então não há problema de divisão por zero e tudo está consistente.
Resposta
convergente (pois