Reescreva as equações nas formas
e
:
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede que eu reescreva a equação dada nas formas
e
. A equação fornecida é
Informações importantes fornecidas pelo enunciado (domínio): não podemos ter denominadores nulos, logo
e
. Vou usar essas restrições quando for multiplicar e dividir ambos os lados.
Passo 2
Primeiro vou eliminar denominadores usando a técnica de “multiplicar ambos os lados pelo produto dos denominadores” (isso é seguro desde que a gente lembre das restrições de domínio). Multiplico ambos os lados por
:
No lado esquerdo o fator
cancela, no direito o fator
cancela (lembrando que isso só é válido se
e
). Obtenho:
Passo 3
Agora eu desenvolvo os produtos para obter uma forma polinomial. No lado esquerdo
. No direito
. Portanto:
Trago tudo para um lado para formar uma equação igual a zero:
Simplificando
, então:
Uma forma natural
é justamente definir
pela expressão à direita. Assim:
e a equação fica
. (Lembrete: ainda valem as restrições
e
, embora a equação polinomial não tenha essas divisões — elas vêm da equação original.)
Passo 4
Para obter uma forma
quero escrever a mesma condição como um ponto fixo de alguma função
. Da equação polinomial obtida temos
Reescrevendo, isso é equivalente a
Agora, se
(ou seja
, já mencionado), posso dividir ambos os lados por
e isolar
:
Portanto uma representação na forma
é dada por
pois as soluções fixas dessa função (
) são exatamente as soluções da equação original (com as restrições de domínio aplicadas).
Passo 5
Resumo das transformações e observações finais: a manipulação por multiplicação cruzada e por rearranjo levou à equação quadrática
. A forma
fica com
. A forma de ponto fixo
pode ser obtida escrevendo
e isolando
, resultando em
. Em todas as etapas mantive em mente que
e
por causa dos denominadores iniciais.