Reescreva as equações nas formas f(x)=0 e f(x)=x :
(d)
\frac{1}{x+2}=\frac{x}{1+x}

Passo 1

O enunciado pede que eu reescreva a equação dada nas formas f(x)=0 e f(x)=x. A equação fornecida é
\frac{1}{x+2}=\frac{x}{1+x}.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado (domínio): não podemos ter denominadores nulos, logo x\neq -2 e x\neq -1. Vou usar essas restrições quando for multiplicar e dividir ambos os lados.

Passo 2

Primeiro vou eliminar denominadores usando a técnica de “multiplicar ambos os lados pelo produto dos denominadores” (isso é seguro desde que a gente lembre das restrições de domínio). Multiplico ambos os lados por (x+2)(1+x):
\left(\frac{1}{x+2}\right)(x+2)(1+x)=\left(\frac{x}{1+x}\right)(x+2)(1+x).
No lado esquerdo o fator (x+2) cancela, no direito o fator (1+x) cancela (lembrando que isso só é válido se x\neq -2 e x\neq -1). Obtenho:
1(1+x)=x(x+2).

Passo 3

Agora eu desenvolvo os produtos para obter uma forma polinomial. No lado esquerdo 1(1+x)=1+x. No direito x(x+2)=x^2+2x. Portanto:
1+x=x^2+2x.
Trago tudo para um lado para formar uma equação igual a zero:
0=x^2+2x-(1+x).
Simplificando 2x-(1+x)=2x-1-x=x-1, então:
0=x^2+x-1.
Uma forma natural f(x)=0 é justamente definir f(x) pela expressão à direita. Assim:
f(x)=x^2+x-1,
e a equação fica f(x)=0. (Lembrete: ainda valem as restrições x\neq -2 e x\neq -1, embora a equação polinomial não tenha essas divisões — elas vêm da equação original.)

Passo 4

Para obter uma forma f(x)=x quero escrever a mesma condição como um ponto fixo de alguma função f. Da equação polinomial obtida temos
x^2+x-1=0.
Reescrevendo, isso é equivalente a
x(x+1)=1.
Agora, se x+1\neq 0 (ou seja x\neq -1, já mencionado), posso dividir ambos os lados por x+1 e isolar x:
x=\frac{1}{x+1}.
Portanto uma representação na forma f(x)=x é dada por
f(x)=\frac{1}{x+1},
pois as soluções fixas dessa função ( f(x)=x) são exatamente as soluções da equação original (com as restrições de domínio aplicadas).

Passo 5

Resumo das transformações e observações finais: a manipulação por multiplicação cruzada e por rearranjo levou à equação quadrática \,x^2+x-1=0. A forma f(x)=0 fica com f(x)=x^2+x-1. A forma de ponto fixo f(x)=x pode ser obtida escrevendo x(x+1)=1 e isolando x, resultando em f(x)=\dfrac{1}{x+1}. Em todas as etapas mantive em mente que x\neq -2 e x\neq -1 por causa dos denominadores iniciais.

Resposta

f(x)=0:\; f(x)=x^2+x-1\n
f(x)=x:\; f(x)=\dfrac{1}{x+1}

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