Para cada uma das iterações abaixo, primeiro encontre uma equação que o método de ponto fixo correspondente resolveria e depois verifique se o ponto fixo dado seria convergente ou divergente.
(d)
x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{a}{x_{n}^{2}}\right) \quad ponto fixo: \sqrt[3]{a}
(d)
x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{a}{x_{n}^{2}}\right) \quad ponto fixo: \sqrt[3]{a}
Passo 1
O enunciado dá a iteração
e informa o ponto fixo sugerido
. A tarefa é: (i) encontrar a equação que o método de ponto fixo correspondente resolveria (ou seja, a equação satisfeita pelo ponto fixo) e (ii) verificar se esse ponto fixo é convergente ou divergente (ou seja, se a iteração converge localmente para ele). As informações relevantes: a fórmula da iteração (acima) e o ponto fixo proposto
. Não há figura ou tabela.
Passo 2
Reescrevo a iteração na forma padrão
. Assim,
Um ponto fixo
satisfaz
. Portanto a equação que o método de ponto fixo resolveria é obtida impondo
.
Passo 3
Escrevo explicitamente a equação do ponto fixo:
Multiplicando ambos os lados por
e simplificando:
Multiplicando por
,
Logo a equação que o método resolveria é
, cujas soluções reais incluem
(a raiz cúbica real).
Passo 4
Agora vamos verificar convergência do ponto fixo
. Um critério simples e prático para convergência local de iterações do tipo
é verificar o módulo da derivada de
no ponto fixo: se
então o ponto fixo é atrativo (convergência local, geralmente linear); se
então é repulsivo (divergente). Intuição curta: a derivada mede quanto um pequeno erro é multiplicado a cada iteração (linearização/Taylor de primeira ordem).
Passo 5
Calculo a derivada de
. Como
temos
Avalio
no ponto fixo
. Observando que
, segue
O módulo é
. Pelo critério mencionado, o ponto fixo
é localmente convergente (atrator). Além disso, como
, a convergência é linear, com taxa aproximadamente
.
Passo 6
Observações práticas e domínio: a iteração usa divisão por
, por isso é preciso evitar
durante o processo. Se
então a equação
dá
, mas a iteração fica mal definida (divisão por zero), então esse caso é problemático. Para
a raiz cúbica real existe (positiva se
, negativa se
) e o critério acima garante convergência local ao ponto fixo desde uma aproximação inicial suficientemente próxima e não nula. Exemplo rápido para intuir: se
então
e
, ou seja, erros são reduzidos aproximadamente pela metade a cada iteração e alternam de sinal.
Resposta
Equação do ponto fixo:
Convergência: o ponto é localmente convergente (atrator), com convergência linear e taxa
.
Convergência: o ponto