Para cada uma das iterações abaixo, primeiro encontre uma equação que o método de ponto fixo correspondente resolveria e depois verifique se o ponto fixo dado seria convergente ou divergente.
(d)
x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{a}{x_{n}^{2}}\right) \quad ponto fixo: \sqrt[3]{a}

Passo 1

O enunciado dá a iteração
x_{n+1}=\frac{1}{2}\!\left(x_{n}+\frac{a}{x_{n}^{2}}\right)
e informa o ponto fixo sugerido \sqrt[3]{a}. A tarefa é: (i) encontrar a equação que o método de ponto fixo correspondente resolveria (ou seja, a equação satisfeita pelo ponto fixo) e (ii) verificar se esse ponto fixo é convergente ou divergente (ou seja, se a iteração converge localmente para ele). As informações relevantes: a fórmula da iteração (acima) e o ponto fixo proposto \sqrt[3]{a}. Não há figura ou tabela.

Passo 2

Reescrevo a iteração na forma padrão x_{n+1}=\varphi(x_n). Assim,
\varphi(x)=\frac{1}{2}\!\left(x+\frac{a}{x^{2}}\right).
Um ponto fixo x^* satisfaz \varphi(x^*)=x^*. Portanto a equação que o método de ponto fixo resolveria é obtida impondo x=\varphi(x).

Passo 3

Escrevo explicitamente a equação do ponto fixo:
x=\frac{1}{2}\!\left(x+\frac{a}{x^{2}}\right).
Multiplicando ambos os lados por 2 e simplificando:
2x = x + \frac{a}{x^{2}} \quad\Rightarrow\quad x = \frac{a}{x^{2}}.
Multiplicando por x^{2},
x^{3}=a.
Logo a equação que o método resolveria é \,x^{3}=a, cujas soluções reais incluem x=\sqrt[3]{a} (a raiz cúbica real).

Passo 4

Agora vamos verificar convergência do ponto fixo x^*=\sqrt[3]{a}. Um critério simples e prático para convergência local de iterações do tipo x_{n+1}=\varphi(x_n) é verificar o módulo da derivada de \varphi no ponto fixo: se |\varphi'(x^*)|<1 então o ponto fixo é atrativo (convergência local, geralmente linear); se |\varphi'(x^*)|>1 então é repulsivo (divergente). Intuição curta: a derivada mede quanto um pequeno erro é multiplicado a cada iteração (linearização/Taylor de primeira ordem).

Passo 5

Calculo a derivada de \varphi. Como
\varphi(x)=\frac{1}{2}\,x+\frac{1}{2}\,a x^{-2},
temos
\varphi'(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot a\cdot(-2)x^{-3}=\frac{1}{2}-a x^{-3}.
Avalio \varphi'(x) no ponto fixo x^*=\sqrt[3]{a}. Observando que (x^*)^{3}=a, segue
\varphi'(x^*)=\frac{1}{2}-a (x^*)^{-3}=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}.
O módulo é |\varphi'(x^*)|=\frac{1}{2}<1. Pelo critério mencionado, o ponto fixo \sqrt[3]{a} é localmente convergente (atrator). Além disso, como \varphi'(x^*)\neq 0, a convergência é linear, com taxa aproximadamente |\varphi'(x^*)|=\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Observações práticas e domínio: a iteração usa divisão por x_n^{2}, por isso é preciso evitar x_n=0 durante o processo. Se a=0 então a equação x^{3}=0 x^*=0, mas a iteração fica mal definida (divisão por zero), então esse caso é problemático. Para a\neq 0 a raiz cúbica real existe (positiva se a>0, negativa se a<0) e o critério acima garante convergência local ao ponto fixo desde uma aproximação inicial suficientemente próxima e não nula. Exemplo rápido para intuir: se a=8 então x^*=2 e \varphi'(2)=-\tfrac{1}{2}, ou seja, erros são reduzidos aproximadamente pela metade a cada iteração e alternam de sinal.

Resposta

Equação do ponto fixo: x^{3}=a
Convergência: o ponto x^{*}=\sqrt[3]{a} é localmente convergente (atrator), com convergência linear e taxa |\varphi'(x^{*})|=\tfrac{1}{2}.

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