Problema 3

Suponha que eu quero resolver a equação p(x)=0 com a seguinte iteração:
x_{n+1}=x_{n}+\alpha p\left(x_{n}\right)-\alpha p\left(x_{n}+\alpha p\left(x_{n}\right)\right)
onde \alpha \neq 0.
(a) Mostre que toda solução de p(x)=0 é um ponto fixo dessa iteração.
(b) Suponha que r seja uma raíz simples de p (ou seja p(r)=0 e p^{\prime}(r) \neq 0 ). Mostre que se |\alpha| for suficientemente pequeno (porém não nulo) então r vai ser um ponto fixo convergente.

Lista 2 - Cálculo Numérico

(c) Considere essa iteração para p(x)=x^{2}-1 e \alpha=1 / 2 :
x_{n+1}=\frac{-1}{8}\left(x_{n}^{4}+4 x_{n}^{3}-2 x_{n}^{2}-12 x_{n}+1\right)
Mostre que as duas soluções x= \pm 1 são pontos fixos convergentes.
(d) A iteração da letra anterior possui dois pontos fixos que não correspondem a soluções do problema original, a saber: -2 \pm \sqrt{5}. Mostre (eu sugiro usar uma calculadora para evitar lidar com o \sqrt{5} ) que esses são pontos fixos divergentes.

Passo 1

O enunciado dá a iteração
x_{n+1}=x_{n}+\alpha p\left(x_{n}\right)-\alpha p\left(x_{n}+\alpha p\left(x_{n}\right)\right),
com \alpha\neq 0. As perguntas são:
(a) Mostrar que toda solução de p(x)=0 é um ponto fixo da iteração.
(b) Supondo que r é uma raiz simples de p (isto é, p(r)=0 e p'(r)\neq 0), mostrar que para |\alpha| suficientemente pequeno (não nulo) o ponto r é um ponto fixo convergente.
(c) Para p(x)=x^{2}-1 e \alpha=1/2, a iteração fica
x_{n+1}=\frac{-1}{8}\left(x_{n}^{4}+4 x_{n}^{3}-2 x_{n}^{2}-12 x_{n}+1\right).
Mostrar que x=\pm 1 são pontos fixos convergentes.
(d) Mostrar que os dois pontos fixos extra x=-2\pm\sqrt{5} (que não são raízes de p) são pontos fixos divergentes.
Informações relevantes: \alpha\neq0. Em (b) usamos que p(r)=0 e p'(r)\neq0. Em (c),(d) temos p(x)=x^2-1 e \alpha=1/2.

Passo 2

(a) Verificação direta: seja r tal que p(r)=0. Substituindo x_n=r na iteração obtemos
r+\alpha p(r)-\alpha p\big(r+\alpha p(r)\big).
Como p(r)=0 temos r+\alpha\cdot 0-\alpha p(r)=r. Mais formalmente,
r+\alpha p(r)-\alpha p\big(r+\alpha p(r)\big)=r+\alpha\cdot 0-\alpha p(r)=r.
Portanto r é um ponto fixo da aplicação g(x)=x+\alpha p(x)-\alpha p(x+\alpha p(x)). (Resposta ao item (a) concluída.)

Passo 3

Para estudar convergência local de um ponto fixo usamos o mapa
g(x)=x+\alpha p(x)-\alpha p\big(x+\alpha p(x)\big).
Se g é diferenciável e |g'(r)|<1 então r é um ponto fixo atrativo (localmente convergente) — aqui segue a intuição: quando |g'(r)|<1 a linearização diz que próximas iterações se contraem em direção a r (teorema do ponto fixo por linearização / critério da derivada). Vou calcular g'(x) usando a regra da cadeia; explico cada passo.
Primeiro calcule a derivada de g. A derivada de x é 1. A derivada de \alpha p(x) é \alpha p'(x). Para a última parcela, por cadeia:
\frac{d}{dx}p\big(x+\alpha p(x)\big)=p'\big(x+\alpha p(x)\big)\cdot\big(1+\alpha p'(x)\big).
Multiplicando por -\alpha (do sinal da iteração) obtemos
g'(x)=1+\alpha p'(x)-\alpha p'\big(x+\alpha p(x)\big)\big(1+\alpha p'(x)\big).

Passo 4

Agora avaliamos g'(x) em x=r, usando p(r)=0. Como p(r)=0 temos x+\alpha p(x)\big|_{x=r}=r, logo p'(r+\alpha p(r))=p'(r). Substituindo em g' obtemos
g'(r)=1+\alpha p'(r)-\alpha p'(r)\big(1+\alpha p'(r)\big).
Simplificando:
g'(r)=1+\alpha p'(r)-\alpha p'(r)-\alpha^2 p'(r)^2=1-\alpha^2 p'(r)^2.
Portanto
|g'(r)|=\big|1-\alpha^2 p'(r)^2\big|.
Queremos |g'(r)|<1. Isso equivale a
0<\alpha^2 p'(r)^2<2,
ou seja
0<|\alpha|<\frac{\sqrt{2}}{|p'(r)|}.
Assim existe um \alpha\neq 0 arbitrariamente pequeno (por exemplo qualquer \alpha com 0<|\alpha|<\sqrt{2}/|p'(r)|) que garante |g'(r)|<1. Concluímos que para |\alpha| suficientemente pequeno (não nulo) o ponto fixo r é localmente atrativo (convergente). Isso responde (b).

Passo 5

(c) Agora specialize em p(x)=x^2-1 e \alpha=1/2. Primeiro verifico que a forma polinomial dada coincide com g. Com p(x)=x^2-1 e \alpha=1/2 temos
g(x)=x+\tfrac{1}{2}(x^2-1)-\tfrac{1}{2}\Big(\big(x+\tfrac{1}{2}(x^2-1)\big)^2-1\Big).
Fazendo as contas (multiplicando, somando, e simplificando) obtém-se exatamente
g(x)=\frac{-1}{8}\big(x^{4}+4x^{3}-2x^{2}-12x+1\big),
como no enunciado.
As soluções x=\pm 1 são raízes de p, pois p(\pm 1)=0. Pelo item (a) são pontos fixos. Para verificar convergência usamos a fórmula geral obtida em Passo 4:
g'(r)=1-\alpha^2 p'(r)^2.
Aqui p'(x)=2x. Para r=1 ou r=-1 temos p'(r)=2r=\pm 2, então
g'(r)=1-(1/2)^2\cdot (2)^2 = 1-\tfrac{1}{4}\cdot 4 = 1-1=0.
Como |g'(r)|=0<1, cada uma das raízes \pm 1 é um ponto fixo atrativo (na verdade super-atrativo, pois a derivada é zero). Logo x=\pm 1 são pontos fixos convergentes. (Resposta ao item (c).)

Passo 6

(d) Primeiro mostro que os outros dois pontos fixos aparecem resolvendo a equação g(x)=x. A condição de ponto fixo é
x = \frac{-1}{8}\big(x^{4}+4x^{3}-2x^{2}-12x+1\big).
Multiplicando por 8 e recolhendo termos obtemos o polinômio dos pontos fixos:
x^{4}+4x^{3}-2x^{2}-4x+1=0.
Fatorizando (tente multiplicar (x^{2}-1)(x^{2}+4x-1); eu verifico que)
(x^{2}-1)(x^{2}+4x-1)=x^{4}+4x^{3}-2x^{2}-4x+1,
portanto as raízes do polinômio são as raízes de x^{2}-1=0 (ou seja x=\pm 1) e as raízes de x^{2}+4x-1=0. As soluções de x^{2}+4x-1=0 são
x=-2\pm\sqrt{5},
logo estes são de fato pontos fixos. Observação: eles não são soluções de p(x)=0 porque para essas x temos (usando x^2+4x-1=0) que
p(x)=x^2-1 = (-4x+1)-1 = -4x,
que não é zero para x=-2\pm\sqrt5 (de fato x\neq 0), então não são raízes de p.
Agora mostro que são pontos fixos divergentes. Para p(x)=x^2-1 e \alpha=1/2 calculei anteriormente a expressão geral da derivada; aqui simplifico diretamente:
a expressão geral (Passo 3) reduz-se, para este p e \alpha, a
g'(x)=\frac{1+x}{2}\big(3-2x-x^2\big).
(Verificação rápida: seguir a conta do Passo 3 com p(x)=x^2-1 e \alpha=1/2 dá essa forma.) Agora, para x que satisfaz x^{2}+4x-1=0 temos x^{2}=-4x+1. Substituindo nessa expressão:
3-2x-x^2 = 3-2x-(-4x+1)=3-2x+4x-1=2+2x=2(1+x).
Logo para esses x
g'(x)=\frac{1+x}{2}\cdot 2(1+x)=(1+x)^2.
Para x=-2+\sqrt{5} temos 1+x= -1+\sqrt{5}\approx 1{,}236, então (1+x)^2\approx 1{,}527>1. Para x=-2-\sqrt{5} temos 1+x=-1-\sqrt{5}\approx -3{,}236, então (1+x)^2\approx 10{,}47>1. Em ambos os casos |g'(x)|>1, portanto esses pontos fixos são repulsivos (divergentes): pequenas perturbações afastam a iteração do ponto fixo. Isso responde (d).

Resposta

(a) Se p(r)=0 então r é ponto fixo da iteração.
(b) Se p(r)=0 e p'(r)\neq 0, então para qualquer \alpha com 0<|\alpha|<\dfrac{\sqrt{2}}{|p'(r)|} temos |g'(r)|<1, logo r é ponto fixo convergente.
(c) Para p(x)=x^2-1 e \alpha=1/2, x=\pm 1 são pontos fixos convergentes (aqui g'(\pm1)=0).
(d) Os pontos x=-2\pm\sqrt{5} são pontos fixos (não são raízes de p) e são divergentes, pois para eles g'(x)=(1+x)^2>1.

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