Para cada n in N mostrar que
sumk=1^n(-1)^k k+1(2 k+1)(2 k+3)=(-1)^n 14(2 n+3)-112;

Passo 1

Beleza, o exercício manda provar que, para todo inteiro sumk=1^n(-1)^k,k+1(2k+1)(2k+3) ;=; (-1)^n,14(2n+3);-;112 ,
O conteúdo aqui é soma de séries com sinais alternados e telescopia via frações parciais. Vamos precisar de:
  1. decompor em frações parciais;
  2. somar termos e ver o “efeito telescópio”;
  3. fazer mudança de índice.

Passo 2

Primeiro, a gente faz a fração parcial:
procuramos constantes k+1(2k+1)(2k+3) =A2k+1+B2k+3 e k+1 = A(2k+3)+B(2k+1) tais que
k+1(2k+1)(2k+3) =14l(12k+1+12k+3r)
Multiplicando ambos os lados por (-1)^kk+1(2k+1)(2k+3) =(-1)^k4l(12k+1+12k+3r) , dá
Isso é uma identidade em . Igualamos coeficientes:
: .
• termo constante: .
Resolvendo, sai .
Logo
Então o somando vira

Passo 3

Agora escrevemos a soma original usando isso:
Sn = sumk=1^n(-1)^kk+1(2k+1)(2k+3) =14sumk=1^n(-1)^k12k+1 ;+;14sumk=1^n(-1)^k12k+3
Chamemos a primeira parte de e a segunda de .

Passo 4

Para telescopar, mudamos o índice de B = sumk=1^n(-1)^k12k+3 = sumj=2^n+1 -,(-1)^j2j+1 = -sumj=2^n+1(-1)^j2j+1 . No termo , fazemos .
  • Quando , .
  • Quando , .
    E .
    Então

Passo 5

Volta pra soma total:
Sn = 14l(sumk=1^n(-1)^k2k+1 ;-;sumj=2^n+1(-1)^j2j+1r)
Essa diferença cancela quase tudo: os termos de Sn = 14l(,(-1)^13;-;(-1)^n+12(n+1)+1r) = 14l(-13 - (-1)^n+12n+3r) a na primeira somatória são iguais aos de a na segunda. Resta só o da primeira e o da segunda (com sinal menos).
Então

Passo 6

Basta agora notar que
Sn = -112 + (-1)^n4(2n+3), e
.
Logo
que é exatamente o que queríamos.

Resposta

sumk=1^n(-1)^k k+1(2 k+1)(2 k+3) ;=; (-1)^n 14(2 n+3) ;-; 112

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