Para cada
mostrar que
;
Passo 1
Beleza, o exercício manda provar que, para todo inteiro
,
O conteúdo aqui é soma de séries com sinais alternados e telescopia via frações parciais. Vamos precisar de:
- decompor
em frações parciais; - somar termos e ver o “efeito telescópio”;
- fazer mudança de índice.
Passo 2
Primeiro, a gente faz a fração parcial:
procuramos constantes e
tais que
procuramos constantes
Multiplicando ambos os lados por
, dá
Isso é uma identidade em
. Igualamos coeficientes:
• :
.
• termo constante: .
Resolvendo, sai .
Logo
•
• termo constante:
Resolvendo, sai
Logo
Então o somando vira
Passo 3
Agora escrevemos a soma original usando isso:
Chamemos a primeira parte de
e a segunda de
.
Passo 4
Para telescopar, mudamos o índice de
. No termo
, fazemos
.
- Quando
, . - Quando
, .
E.
Então
Passo 5
Volta pra soma total:
Essa diferença cancela quase tudo: os termos de
a
na primeira somatória são iguais aos de
a
na segunda. Resta só o
da primeira e o
da segunda (com sinal menos).
Então
Então
Passo 6
Basta agora notar que
e
.
Logo
Logo
que é exatamente o que queríamos.