Mostre que cada função a seguir possui ao menos um zero no intervalo indicado. Em seguida, aplique o método da bissecção para obter uma aproximação com erro absoluto menor que
.
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
no intervalo
:\n
- Mostrar que
possui ao menos um zero em .\n - Aplicar o método da bissecção para obter uma aproximação do zero com erro absoluto menor que
.\n
Informações dadas que vamos usar:\n - A função é
.\n - O intervalo considerado é
.\n - A tolerância (erro máximo permitido) é
.
Passo 2
Mostrar existência de pelo menos um zero em
.\n
Primeiro, lembrar (de maneira prática): polinômios são funções contínuas em todo . Assim
é contínua em
.\n
Calcular os valores nos extremos do intervalo:\n
Primeiro, lembrar (de maneira prática): polinômios são funções contínuas em todo
Calcular os valores nos extremos do intervalo:\n
Temos
e
. Como
é contínua e seus valores em
e
têm sinais opostos, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos um
tal que
. Ou seja, há ao menos um zero no intervalo
.
Passo 3
Explicar o método da bissecção e a estimativa de erro (didático, passo a passo).\n
Ideia do método: se e
têm sinais opostos, o zero está em
. Tomamos o ponto médio
e avaliamos
. Conforme o sinal de
escolhemos o subintervalo
ou
que conserva a mudança de sinal; repetindo, obtemos intervalos cada vez menores que contêm a raiz.\n
Quanto ao erro: seja o intervalo inicial com comprimento
. Após
bissecções o comprimento do intervalo é
Ideia do método: se
Quanto ao erro: seja
Se tomarmos como aproximante a bissetriz (o ponto médio) do intervalo obtido após
bissecções, o erro absoluto máximo entre esse aproximante e a raiz é menor ou igual a metade do comprimento do intervalo:
No nosso problema
,
, logo
. Queremos
. Vamos determinar o menor
inteiro que satisfaz isso.\n
Resolver é equivalente a
. Como
e
, temos
e
. Portanto o menor inteiro
que serve é
. Isso significa que, com
bissecções, o erro garantido do ponto médio será menor que
.
Resolver
Passo 4
Aplicar a bissecção passo a passo (calcular midpoint, avaliar
, escolher subintervalo). Vou numerar as iterações e mostrar os cálculos com cuidado para que dê para reproduzir à mão na prova.\n
Intervalo inicial: ,
,
.\n
Intervalo inicial:
- Iteração 1 (k=1):\n
Sinal de
é negativo; portanto o zero está em
. Novo intervalo:
.\n
- Iteração 2 (k=2):\n
Sinal positivo em
; o zero está em
. Novo intervalo:
.\n
- Iteração 3 (k=3):\n
Sinal negativo em
; o zero está em
. Novo intervalo:
.\n
- Iteração 4 (k=4):\n
Sinal negativo em
; o zero está em
. Novo intervalo:
.\n
- Iteração 5 (k=5):\n
Sinal negativo em
; o zero está em
. Novo intervalo:
.\n
- Iteração 6 (k=6):\n
Aqui
e
, logo o zero fica no subintervalo
.\n
Depois de bissecções o comprimento do intervalo é
Depois de
O erro máximo do ponto médio é
. Portanto, podemos tomar como aproximação o ponto médio
com garantia de erro absoluto menor que
.
Passo 5
Comentário final e checagem rápida (motivacional):\n
A raiz exata positiva de é
. A nossa aproximação
difere de
por cerca de
, bem dentro da tolerância pedida. Mandou bem — método da bissecção é simples, seguro e ótimo quando só se sabe que há mudança de sinal.
A raiz exata positiva de
Resposta
Há ao menos um zero em
.\n
Aproximação pela bissecção com erro absoluto menor que :
.
Aproximação pela bissecção com erro absoluto menor que