Mostre que cada função a seguir possui ao menos um zero no intervalo indicado. Em seguida, aplique o método da bissecção para obter uma aproximação com erro absoluto menor que 10^{-2}.
(a) f(x)=x^{2}-3, \quad[1,2]

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função f(x)=x^{2}-3 no intervalo [1,2]:\n
  • Mostrar que f possui ao menos um zero em [1,2].\n
  • Aplicar o método da bissecção para obter uma aproximação do zero com erro absoluto menor que 10^{-2}.\n
    Informações dadas que vamos usar:\n
  • A função é f(x)=x^{2}-3.\n
  • O intervalo considerado é [1,2].\n
  • A tolerância (erro máximo permitido) é 10^{-2}.

Passo 2

Mostrar existência de pelo menos um zero em [1,2].\n
Primeiro, lembrar (de maneira prática): polinômios são funções contínuas em todo \mathbb{R}. Assim f é contínua em [1,2].\n
Calcular os valores nos extremos do intervalo:\n
f(1)=1^{2}-3=-2,\n
f(2)=2^{2}-3=1.\n
Temos f(1)=-2<0 e f(2)=1>0. Como f é contínua e seus valores em 1 e 2 têm sinais opostos, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos um r\in(1,2) tal que f(r)=0. Ou seja, há ao menos um zero no intervalo (1,2).

Passo 3

Explicar o método da bissecção e a estimativa de erro (didático, passo a passo).\n
Ideia do método: se f(a) e f(b) têm sinais opostos, o zero está em [a,b]. Tomamos o ponto médio m=(a+b)/2 e avaliamos f(m). Conforme o sinal de f(m) escolhemos o subintervalo [a,m] ou [m,b] que conserva a mudança de sinal; repetindo, obtemos intervalos cada vez menores que contêm a raiz.\n
Quanto ao erro: seja I_0=[a,b] o intervalo inicial com comprimento L_0=b-a. Após k bissecções o comprimento do intervalo é
L_k=\frac{b-a}{2^{k}}.
Se tomarmos como aproximante a bissetriz (o ponto médio) do intervalo obtido após k bissecções, o erro absoluto máximo entre esse aproximante e a raiz é menor ou igual a metade do comprimento do intervalo:
\text{erro}\le \frac{L_k}{2}=\frac{b-a}{2^{k+1}}.
No nosso problema a=1, b=2, logo b-a=1. Queremos \dfrac{1}{2^{k+1}}<10^{-2}. Vamos determinar o menor k inteiro que satisfaz isso.\n
Resolver \dfrac{1}{2^{k+1}}\le 10^{-2} é equivalente a 2^{k+1}\ge 100. Como 2^{6}=64 e 2^{7}=128, temos 2^{7}\ge100 e 2^{6}<100. Portanto o menor inteiro k que serve é k=6. Isso significa que, com 6 bissecções, o erro garantido do ponto médio será menor que 10^{-2}.

Passo 4

Aplicar a bissecção passo a passo (calcular midpoint, avaliar f, escolher subintervalo). Vou numerar as iterações e mostrar os cálculos com cuidado para que dê para reproduzir à mão na prova.\n
Intervalo inicial: [a_0,b_0]=[1,2], f(a_0)= -2, f(b_0)=1.\n
  1. Iteração 1 (k=1):\n
m_1=\frac{1+2}{2}=1,5,\qquad f(1,5)=1,5^{2}-3=2,25-3=-0,75<0.\n
Sinal de f(m_1) é negativo; portanto o zero está em [m_1,b_0]=[1,5,\,2]. Novo intervalo: [a_1,b_1]=[1,5,2].\n
  1. Iteração 2 (k=2):\n
m_2=\frac{1,5+2}{2}=1,75,\qquad f(1,75)=1,75^{2}-3=3,0625-3=0,0625>0.\n
Sinal positivo em m_2; o zero está em [a_1,m_2]=[1,5,\,1,75]. Novo intervalo: [a_2,b_2]=[1,5,1,75].\n
  1. Iteração 3 (k=3):\n
m_3=\frac{1,5+1,75}{2}=1,625,\qquad f(1,625)=1,625^{2}-3=2,640625-3=-0,359375<0.\n
Sinal negativo em m_3; o zero está em [m_3,b_2]=[1,625,\,1,75]. Novo intervalo: [a_3,b_3]=[1,625,1,75].\n
  1. Iteração 4 (k=4):\n
m_4=\frac{1,625+1,75}{2}=1,6875,\qquad f(1,6875)=1,6875^{2}-3=2,84765625-3=-0,15234375<0.\n
Sinal negativo em m_4; o zero está em [m_4,b_3]=[1,6875,\,1,75]. Novo intervalo: [a_4,b_4]=[1,6875,1,75].\n
  1. Iteração 5 (k=5):\n
m_5=\frac{1,6875+1,75}{2}=1,71875,\qquad f(1,71875)=\left(\frac{55}{32}\right)^{2}-3=\frac{3025}{1024}-3=2,955078125-3=-0,044921875<0.\n
Sinal negativo em m_5; o zero está em [m_5,b_4]=[1,71875,\,1,75]. Novo intervalo: [a_5,b_5]=[1,71875,1,75].\n
  1. Iteração 6 (k=6):\n
m_6=\frac{1,71875+1,75}{2}=1,734375,\qquad f(1,734375)=\left(\frac{111}{64}\right)^{2}-3=\frac{12321}{4096}-3\approx3,00927734375-3=0,00927734375>0.\n
Aqui f(m_6)>0 e f(a_5)<0, logo o zero fica no subintervalo [a_5,m_6]=[1,71875,\,1,734375].\n
Depois de 6 bissecções o comprimento do intervalo é
L_6=b_6-a_6=1,734375-1,71875=0,015625.
O erro máximo do ponto médio é \le\frac{L_6}{2}=0,0078125<10^{-2}. Portanto, podemos tomar como aproximação o ponto médio m_6=1,734375 com garantia de erro absoluto menor que 10^{-2}.

Passo 5

Comentário final e checagem rápida (motivacional):\n
A raiz exata positiva de f(x)=x^{2}-3 é \sqrt{3}\approx1,73205\ldots. A nossa aproximação 1,734375 difere de \sqrt{3} por cerca de 0,0023, bem dentro da tolerância pedida. Mandou bem — método da bissecção é simples, seguro e ótimo quando só se sabe que há mudança de sinal.

Resposta

Há ao menos um zero em (1,2).\n
Aproximação pela bissecção com erro absoluto menor que 10^{-2}: 1,734375.

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