Mostre que cada função a seguir possui ao menos um zero no intervalo indicado. Em seguida, aplique o método da bissecção para obter uma aproximação com erro absoluto menor que 10^{-2}.
(b) f(x)=x^{3}-x-1, \quad[1,2]

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x)=x^{3}-x-1\, e o intervalo \,[1,2]\,. Pede duas coisas:
  • Mostrar que existe pelo menos um zero (uma raiz) de f em [1,2].
  • Aplicar o método da bissecção para obter uma aproximação da raiz com erro absoluto menor que 10^{-2}.
As informações relevantes fornecidas são: a expressão de \,f(x)\, e o intervalo \,[1,2].

Passo 2

Por que podemos tentar achar uma raiz em [1,2]? Primeiro uma aula rápida sobre continuidade e o teorema que vamos usar.
Uma função polinomial é contínua em todo \mathbb{R}. Isso significa, intuitivamente, que ela não “salta” valores: se pegamos valores próximos de x, os valores de f(x) também ficam próximos.
O Teorema do Valor Intermediário (TVI) diz o seguinte: se g é contínua em [a,b] e g(a) e g(b) têm sinais opostos (isto é, g(a)\cdot g(b)<0), então existe pelo menos um c\in(a,b) tal que g\text{(c)}=0.
Aqui vamos aplicar o TVI a f em [1,2]: como f é polinomial, é contínua; basta verificar o sinal de f(1) e f(2).

Passo 3

Calcular f(1) e f(2):
f(1)=1^{3}-1-1 = 1-1-1 = -1.
f(2)=2^{3}-2-1 = 8-2-1 = 5.
Temos f(1)=-1<0 e f(2)=5>0. Como f é contínua e houve troca de sinal em [1,2], o Teorema do Valor Intermediário garante que existe pelo menos um c\in(1,2) tal que f\text{(c)}=0. Portanto existe pelo menos uma raiz em [1,2].
(Comentário amigo: já tiramos a parte teórica chata — existe raiz. Agora vamos caçá‑la com a bissecção.)

Passo 4

Explicando o método da bissecção (de forma prática e clara):
  • Começa-se com um intervalo inicial [a_{0},b_{0}] onde f(a_{0})\cdot f(b_{0})<0.
  • Em cada iteração k calcula‑se o ponto médio \,m_{k}=\dfrac{a_{k-1}+b_{k-1}}{2}\, e avalia‑se f(m_{k}).
  • Se f(m_{k})=0 então achámos a raiz exata; se não, escolhe‑se o subintervalo onde ocorre a troca de sinal (ou seja, onde f muda de sinal) para ser o novo [a_{k},b_{k}].
  • Depois de n iterações o comprimento do intervalo é \dfrac{b_{0}-a_{0}}{2^{n}}. Se tomarmos como aproximação o ponto médio do intervalo final, o erro absoluto máximo (distância entre essa aproximação e a raiz verdadeira) é no máximo metade do comprimento do intervalo final, isto é
\text{erro} \le \frac{b_{0}-a_{0}}{2^{n+1}}.
Aqui b_{0}-a_{0} é o comprimento do intervalo inicial e n é o número de iterações realizadas.
Para garantir erro absoluto menor que 10^{-2} precisamos de n tal que
\frac{b_{0}-a_{0}}{2^{n+1}} < 10^{-2}.
No nosso caso b_{0}-a_{0}=2-1=1. Assim exigimos
\frac{1}{2^{n+1}} < 10^{-2} \quad\Longrightarrow\quad 2^{n+1} > 100.
Como 2^{7}=128>100 e 2^{6}=64<100, concluímos que basta escolher n=6 iterações (porque para n=6 temos 2^{n+1}=2^{7}=128, satisfazendo a desigualdade). Isso garante que o erro máximo da aproximação (o meio do intervalo final) será menor que 10^{-2}.

Passo 5

Agora aplicamos concretamente a bissecção em [1,2], realizando 6 iterações e anotando cada passo (vou calcular f nos pontos médios com frações exatas quando possível e com decimal quando ficar mais legível).
Iteração 1:
a_{0}=1,\quad b_{0}=2,\quad m_{1}=\frac{1+2}{2}=1{,}5.
f(1{,}5)=1{,}5^{3}-1{,}5-1=3{,}375-1{,}5-1=0{,}875>0.
Como f(1)=-1<0 e f(1{,}5)=0{,}875>0, a raiz está em [1,\,1{,}5]. Então escolhemos
a_{1}=1,\quad b_{1}=1{,}5.
Iteração 2:
m_{2}=\frac{1+1{,}5}{2}=1{,}25.
f(1{,}25)=1{,}25^{3}-1{,}25-1=1{,}953125-1{,}25-1=-0{,}296875<0.
Agora f(1{,}25)<0 e f(1{,}5)>0, logo a raiz está em [1{,}25,\,1{,}5]. Tomamos
a_{2}=1{,}25,\quad b_{2}=1{,}5.
Iteração 3:
m_{3}=\frac{1{,}25+1{,}5}{2}=1{,}375.
f(1{,}375)=1{,}375^{3}-1{,}375-1 \approx 2{,}599609375-1{,}375-1=0{,}224609375>0.
Como f(1{,}25)<0 e f(1{,}375)>0, a raiz está em [1{,}25,\,1{,}375]. Assim
a_{3}=1{,}25,\quad b_{3}=1{,}375.
Iteração 4:
m_{4}=\frac{1{,}25+1{,}375}{2}=1{,}3125.
f(1{,}3125)=1{,}3125^{3}-1{,}3125-1 \approx 2{,}25830078125-1{,}3125-1=-0{,}05419921875<0.
Agora f(1{,}3125)<0 e f(1{,}375)>0, então a raiz está em [1{,}3125,\,1{,}375]. Tomamos
a_{4}=1{,}3125,\quad b_{4}=1{,}375.
Iteração 5:
m_{5}=\frac{1{,}3125+1{,}375}{2}=1{,}34375.
Uma forma exata: 1{,}34375=\dfrac{43}{32}. Então
f\!\left(\tfrac{43}{32}\right)=\frac{43^{3}}{32^{3}}-\frac{43}{32}-1=\frac{79507-76800}{32768}=\frac{2707}{32768}\approx0{,}0826>0.
Como f(1{,}3125)<0 e f(1{,}34375)>0, a raiz está em [1{,}3125,\,1{,}34375]. Assim
a_{5}=1{,}3125,\quad b_{5}=1{,}34375.
Iteração 6:
m_{6}=\frac{1{,}3125+1{,}34375}{2}=1{,}328125=\frac{85}{64}.
Cálculo exato:
f\!\left(\tfrac{85}{64}\right)=\frac{85^{3}}{64^{3}}-\frac{85}{64}-1=\frac{614125-610304}{262144}=\frac{3821}{262144}\approx0{,}01457>0.
Vimos que f(1{,}3125)<0 e f(1{,}328125)>0, então a raiz está em [1{,}3125,\,1{,}328125].
Depois de 6 iterações o intervalo final é [1{,}3125,\,1{,}328125] cujo comprimento é
b_{6}-a_{6}=1{,}328125-1{,}3125=\frac{1}{64}=0{,}015625.
Tomando como aproximação o ponto médio do intervalo final,
\tilde{x}=\frac{1{,}3125+1{,}328125}{2}=1{,}3203125.
O erro máximo desta aproximação satisfaz
\text{erro}\le \frac{b_{6}-a_{6}}{2}=\frac{1}{128}=0{,}0078125<10^{-2},
ou seja, o erro absoluto é menor que 10^{-2}, como exigido.

Resposta

x \approx 1{,}3203125

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