Mostre que cada função a seguir possui ao menos um zero no intervalo indicado. Em seguida, aplique o método da bissecção para obter uma aproximação com erro absoluto menor que
.
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado dá a função
e o intervalo
. Pede duas coisas:
- Mostrar que existe pelo menos um zero (uma raiz) de
em . - Aplicar o método da bissecção para obter uma aproximação da raiz com erro absoluto menor que
.
As informações relevantes fornecidas são: a expressão de
e o intervalo
.
Passo 2
Por que podemos tentar achar uma raiz em
? Primeiro uma aula rápida sobre continuidade e o teorema que vamos usar.
Uma função polinomial é contínua em todo
. Isso significa, intuitivamente, que ela não “salta” valores: se pegamos valores próximos de
, os valores de
também ficam próximos.
O Teorema do Valor Intermediário (TVI) diz o seguinte: se
é contínua em
e
e
têm sinais opostos (isto é,
), então existe pelo menos um
tal que
.
Aqui vamos aplicar o TVI a
em
: como
é polinomial, é contínua; basta verificar o sinal de
e
.
Passo 3
Calcular
e
:
Temos
e
. Como
é contínua e houve troca de sinal em
, o Teorema do Valor Intermediário garante que existe pelo menos um
tal que
. Portanto existe pelo menos uma raiz em
.
(Comentário amigo: já tiramos a parte teórica chata — existe raiz. Agora vamos caçá‑la com a bissecção.)
Passo 4
Explicando o método da bissecção (de forma prática e clara):
- Começa-se com um intervalo inicial
onde . - Em cada iteração
calcula‑se o ponto médio e avalia‑se . - Se
então achámos a raiz exata; se não, escolhe‑se o subintervalo onde ocorre a troca de sinal (ou seja, onde muda de sinal) para ser o novo . - Depois de
iterações o comprimento do intervalo é . Se tomarmos como aproximação o ponto médio do intervalo final, o erro absoluto máximo (distância entre essa aproximação e a raiz verdadeira) é no máximo metade do comprimento do intervalo final, isto é
Aqui
é o comprimento do intervalo inicial e
é o número de iterações realizadas.
Para garantir erro absoluto menor que
precisamos de
tal que
No nosso caso
. Assim exigimos
Como
e
, concluímos que basta escolher
iterações (porque para
temos
, satisfazendo a desigualdade). Isso garante que o erro máximo da aproximação (o meio do intervalo final) será menor que
.
Passo 5
Agora aplicamos concretamente a bissecção em
, realizando
iterações e anotando cada passo (vou calcular
nos pontos médios com frações exatas quando possível e com decimal quando ficar mais legível).
Iteração 1:
Como
e
, a raiz está em
. Então escolhemos
Iteração 2:
Agora
e
, logo a raiz está em
. Tomamos
Iteração 3:
Como
e
, a raiz está em
. Assim
Iteração 4:
Agora
e
, então a raiz está em
. Tomamos
Iteração 5:
Uma forma exata:
. Então
Como
e
, a raiz está em
. Assim
Iteração 6:
Cálculo exato:
Vimos que
e
, então a raiz está em
.
Depois de
iterações o intervalo final é
cujo comprimento é
Tomando como aproximação o ponto médio do intervalo final,
O erro máximo desta aproximação satisfaz
ou seja, o erro absoluto é menor que
, como exigido.