Em cada um dos PVI’s abaixo, aproxime
pelo método de Euler, método do ponto médio, método de Euler aperfeiçoado e Runge-Kutta de 4a ordem, utilizando
.
;
Passo 1
O problema é o PVI
com
. Queremos aproximar
usando passo
, isto é, dois subintervalos:
,
,
. Vamos aplicar quatro métodos numéricos de ordem crescente: método de Euler, método do ponto médio (RK2), Euler aperfeiçoado (Heun) e Runge–Kutta de 4ª ordem.
Passo 2
Método de Euler (ordem 1). A regra geral é
Começando em
,
:
Em
,
:
Passo 3
Método do ponto médio (RK2). Definimos
Para
:
Para
:
Passo 4
Método de Euler aperfeiçoado (Heun, RK2). As fórmulas são
Para
:
Para
:
Passo 5
Runge–Kutta de 4ª ordem. Para cada passo calculamos
Para
:
Para
: usando
,
:
Resposta
Euler:
Ponto médio:
Euler aperfeiçoado:
Runge–Kutta 4ª ordem:
Ponto médio:
Euler aperfeiçoado:
Runge–Kutta 4ª ordem: