Em cada um dos PVI’s abaixo, aproxime y(0.4) pelo método de Euler, método do ponto médio, método de Euler aperfeiçoado e Runge-Kutta de 4a ordem, utilizando h=0.2.
y^{\prime}+y=x \quad y(0)=1;

Passo 1

O problema é o PVI
y' + y = x, \quad y(0)=1
com f(x,y)=x - y. Queremos aproximar y(0{,}4) usando passo h=0{,}2, isto é, dois subintervalos: x_0=0, x_1=0{,}2, x_2=0{,}4. Vamos aplicar quatro métodos numéricos de ordem crescente: método de Euler, método do ponto médio (RK2), Euler aperfeiçoado (Heun) e Runge–Kutta de 4ª ordem.

Passo 2

Método de Euler (ordem 1). A regra geral é
y_{n+1} = y_n + h\,f(x_n,y_n).
Começando em x_0=0, y_0=1:
f(x_0,y_0)=f(0,1)=0-1=-1,
y_1 = 1 + 0{,}2\cdot(-1)=0{,}8.
Em x_1=0{,}2, y_1=0{,}8:
f(x_1,y_1)=0{,}2-0{,}8=-0{,}6,
y_2 = 0{,}8 + 0{,}2\cdot(-0{,}6)=0{,}68.

Passo 3

Método do ponto médio (RK2). Definimos
k_1 = f(x_n,y_n),\quad k_2 = f\bigl(x_n + \tfrac h2,\;y_n + \tfrac h2\,k_1\bigr), \quad y_{n+1} = y_n + h\,k_2.
Para n=0:
k_1 = f(0,1)=-1,\quad k_2 = f\bigl(0{,}1,\;1+0{,}1\cdot(-1)\bigr)=f(0{,}1,0{,}9)=0{,}1-0{,}9=-0{,}8,
y_1 = 1 + 0{,}2\cdot(-0{,}8)=0{,}84.
Para n=1:
k_1 = f(0{,}2,0{,}84)=0{,}2-0{,}84=-0{,}64,
k_2 = f\bigl(0{,}3,\;0{,}84+0{,}1\cdot(-0{,}64)\bigr)=f(0{,}3,0{,}776)=0{,}3-0{,}776=-0{,}476,
y_2 = 0{,}84 + 0{,}2\cdot(-0{,}476)=0{,}7448.

Passo 4

Método de Euler aperfeiçoado (Heun, RK2). As fórmulas são
k_1 = f(x_n,y_n),\quad k_2 = f(x_n + h,\;y_n + h\,k_1), \quad y_{n+1} = y_n + \tfrac h2\,(k_1 + k_2).
Para n=0:
k_1 = -1,\quad k_2 = f(0{,}2,1+0{,}2\cdot(-1))=f(0{,}2,0{,}8)= -0{,}6,
y_1 = 1 + 0{,}1\bigl(-1 -0{,}6\bigr)=0{,}84.
Para n=1:
k_1 = f(0{,}2,0{,}84)=-0{,}64,\quad k_2 = f(0{,}4,0{,}84+0{,}2\cdot(-0{,}64))=f(0{,}4,0{,}712)=-0{,}312,
y_2 = 0{,}84 + 0{,}1\bigl(-0{,}64 -0{,}312\bigr)=0{,}7448.

Passo 5

Runge–Kutta de 4ª ordem. Para cada passo calculamos
\begin{aligned} k_1 &= f(x_n,y_n),\\\ k_2 &= f\bigl(x_n + \tfrac h2,\;y_n + \tfrac h2\,k_1\bigr),\\\ k_3 &= f\bigl(x_n + \tfrac h2,\;y_n + \tfrac h2\,k_2\bigr),\\\ k_4 &= f(x_n + h,\;y_n + h\,k_3),\\\ y_{n+1} &= y_n + \tfrac h6\,(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4). \end{aligned}
Para n=0:
k_1=-1,\quad k_2=f(0{,}1,0{,}9)=-0{,}8,\quad k_3=f(0{,}1,0{,}92)=-0{,}82,\quad k_4=f(0{,}2,0{,}836)=-0{,}636,
y_1 = 1 + \tfrac{0{,}2}{6}\bigl(-1 -1{,}6 -1{,}64 -0{,}636\bigr)\approx0{,}837467.
Para n=1: usando x_1=0{,}2, y_1\approx0{,}837467:
k_1=-0{,}637467,\; k_2=f(0{,}3,0{,}77372)=-0{,}4737203,\; k_3=f(0{,}3,0{,}7900953)=-0{,}4900953,\; k_4=f(0{,}4,0{,}7394479)=-0{,}3394479,
y_2 \approx0{,}837467 + \tfrac{0{,}2}{6}\bigl(-0{,}637467 -0{,}9474406 -0{,}9801906 -0{,}3394479\bigr)\approx0{,}74065.

Resposta

Euler: y(0{,}4)\approx0{,}68
Ponto médio: y(0{,}4)\approx0{,}7448
Euler aperfeiçoado: y(0{,}4)\approx0{,}7448
Runge–Kutta 4ª ordem: y(0{,}4)\approx0{,}74065

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