Em cada um dos PVI’s abaixo, aproxime y(0.4) pelo método de Euler, método do ponto médio, método de Euler aperfeiçoado e Runge-Kutta de 4a ordem, utilizando h=0.2.
y^{\prime}=3 y+3 x \quad y(0)=1;

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y' = 3y + 3x,\quad y(0)=1,
e pede a aproximação de y(0.4) usando passo h=0.2 pelos métodos de Euler explícito, ponto médio, Euler aperfeiçoado (Heun) e Runge–Kutta de 4ª ordem. A função é
f(x,y)=3y+3x.

Passo 2

Método de Euler explícito:
A cada passo
y_{n+1}=y_n + h\,f(x_n,y_n).
No primeiro passo ( x_0=0, y_0=1):
y_1 = 1 + 0.2\cdot\bigl(3\cdot1 + 3\cdot0\bigr) = 1 + 0.2\cdot3 = 1.6.
No segundo passo ( x_1=0.2, y_1=1.6):
y_2 = 1.6 + 0.2\cdot\bigl(3\cdot1.6 + 3\cdot0.2\bigr) = 1.6 + 0.2\cdot5.4 = 2.68.

Passo 3

Método do ponto médio:
A cada passo calcula-se
k_1 = f(x_n,y_n),\quad y_{n+\tfrac12} = y_n + \tfrac{h}{2}k_1,\quad k_2 = f\bigl(x_n+\tfrac{h}{2},\,y_{n+\tfrac12}\bigr),
y_{n+1} = y_n + h\,k_2.
1.º passo:
k_1 = 3\cdot1+3\cdot0 = 3,\quad y_{1/2} = 1 + 0.1\cdot3 = 1.3,\quad k_2 = 3\cdot1.3 + 3\cdot0.1 = 4.2,
y_1 = 1 + 0.2\cdot4.2 = 1.84.
2.º passo:
k_1 = 3\cdot1.84+3\cdot0.2 = 6.12,\quad y_{3/2} = 1.84 + 0.1\cdot6.12 = 2.452,\quad k_2 = 3\cdot2.452 + 3\cdot0.3 = 8.256,
y_2 = 1.84 + 0.2\cdot8.256 = 3.4912.

Passo 4

Método de Euler aperfeiçoado (Heun):
A cada passo
k_1 = f(x_n,y_n),\quad y^* = y_n + h\,k_1,\quad k_2 = f(x_n+h,\,y^*),
y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}\bigl(k_1 + k_2\bigr).
1.º passo:
k_1=3,\quad y^*=1+0.2\cdot3=1.6,\quad k_2=3\cdot1.6+3\cdot0.2=5.4,
y_1=1+0.1\,(3+5.4)=1.84.
2.º passo:
k_1=6.12,\quad y^*=1.84+0.2\cdot6.12=3.064,\quad k_2=3\cdot3.064+3\cdot0.4=10.392,
y_2=1.84+0.1\,(6.12+10.392)=3.4912.

Passo 5

Runge–Kutta de 4ª ordem:
A cada passo
k_1 = f(x_n,y_n),\; k_2 = f\!\bigl(x_n+\tfrac{h}{2},\,y_n+\tfrac{h}{2}k_1\bigr),\; k_3 = f\!\bigl(x_n+\tfrac{h}{2},\,y_n+\tfrac{h}{2}k_2\bigr),
k_4 = f\bigl(x_n+h,y_n+h\,k_3\bigr),\quad y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6}\,(k_1+2k_2+2k_3+k_4).
1.º passo:
k_1=3,\;k_2=4.2,\;k_3=4.2,\;k_4=6.12,\; y_1 = 1 + \frac{0.2}{6}(3+2\cdot4.2+2\cdot4.2+6.12)=1.864.
2.º passo:
k_1=6.192,\; k_2=8.3496,\; k_3=8.3496,\; k_4=11.80176,
y_2 = 1.864 + \frac{0.2}{6}(6.192+2\cdot8.3496+2\cdot8.3496+11.80176) \approx 3.57707.

Resposta

Euler explícito: y(0.4)\approx 2.68
Ponto médio: y(0.4)\approx 3.4912
Euler aperfeiçoado: y(0.4)\approx 3.4912
Runge–Kutta 4ª ordem: y(0.4)\approx 3.5771

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