Em cada um dos PVI’s abaixo, aproxime y(0.4) pelo método de Euler, método do ponto médio, método de Euler aperfeiçoado e Runge-Kutta de 4a ordem, utilizando h=0.2.
y^{\prime}=-20 y \quad y(0)=1;

Passo 1

O enunciado pede para aproximar \;y(0.4) na EDO
y' = -20\,y,\quad y(0)=1
usando passo h=0.2 pelos métodos de Euler explícito, ponto médio, Euler aperfeiçoado (Heun) e Runge–Kutta de 4ª ordem. O conteúdo é aplicação de métodos de integração de EDOs com iterações discretas em x=0,0.2,0.4.

Passo 2

Método de Euler explícito: a regra geral é
y_{n+1} = y_n + h\,f(x_n,y_n).
Aqui f(y)=-20y. Começando em y_0=1:
y_1 = 1 + 0.2\bigl(-20\cdot1\bigr) = 1 - 4 = -3,
y_2 = -3 + 0.2\bigl(-20\cdot(-3)\bigr) = -3 + 12 = 9.
Logo, pelo Euler explícito, y(0.4)\approx 9.

Passo 3

Método do ponto médio: usam-se
k_1 = f(y_n),\quad y_{n+\frac12}=y_n + \frac{h}{2}\,k_1,\quad k_2 = f\bigl(y_{n+\frac12}\bigr),
y_{n+1} = y_n + h\,k_2.
Para y_0=1:
k_1 = -20\cdot1 = -20,\quad y_{0.1}=1 + 0.1\cdot(-20) = -1,
k_2 = -20\cdot(-1) = 20,\quad y_1 = 1 + 0.2\cdot20 = 5.
Agora em y_1=5:
k_1 = -20\cdot5 = -100,\quad y_{1.1}=5 + 0.1\cdot(-100) = -5,
k_2 = -20\cdot(-5) = 100,\quad y_2 = 5 + 0.2\cdot100 = 25.
Assim, pelo ponto médio, y(0.4)\approx 25.

Passo 4

Método de Euler aperfeiçoado (Heun):
y_{\text{pred}} = y_n + h\,f(y_n),\quad y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}\bigl[f(y_n)+f(y_{\text{pred}})\bigr].
Para y_0=1:
y_{1,\text{pred}} = 1 + 0.2(-20\cdot1) = -3,\quad f_{\text{pred}}=60,
y_1 = 1 + 0.1\bigl(-20 + 60\bigr) = 1 + 4 = 5.
Em seguida, para y_1=5:
y_{2,\text{pred}} = 5 + 0.2(-20\cdot5) = -15,\quad f_{\text{pred}} = 300,
y_2 = 5 + 0.1\bigl(-100 + 300\bigr) = 5 + 20 = 25.
Logo, pelo Heun, y(0.4)\approx 25.

Passo 5

Runge–Kutta de 4ª ordem: definimos
k_1 = f(y_n),\quad k_2 = f\bigl(y_n+\tfrac{h}{2}k_1\bigr),\quad k_3 = f\bigl(y_n+\tfrac{h}{2}k_2\bigr),\quad k_4 = f\bigl(y_n+h\,k_3\bigr),
y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6}\bigl(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4\bigr).
Para y_0=1:
k_1=-20,\;k_2=20,\;k_3=-60,\;k_4=220
y_1 = 1 + \frac{0.2}{6}(-20+2\cdot20+2\cdot(-60)+220) = 5.
Para y_1=5:
k_1=-100,\;k_2=100,\;k_3=-300,\;k_4=1100
y_2 = 5 + \frac{0.2}{6}(-100+2\cdot100+2\cdot(-300)+1100) = 25.
Portanto, pelo RK4, y(0.4)\approx 25.

Resposta

Euler explícito: 9
Ponto médio: 25
Euler aperfeiçoado (Heun): 25
Runge–Kutta 4ª ordem: 25

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