Em cada um dos PVI’s abaixo, aproxime
pelo método de Euler, método do ponto médio, método de Euler aperfeiçoado e Runge-Kutta de 4a ordem, utilizando
.
;
Passo 1
Temos o PVI
e queremos aproximar
com passo
pelos métodos de Euler explícito, ponto médio, Euler aperfeiçoado (Heun) e Runge–Kutta de 4ª ordem. Em cada caso usaremos a iteração
onde a correção varia conforme o método.
Passo 2
Método de Euler explícito
A fórmula é
A fórmula é
com
.
Para :
Para
Para
:
Logo, pelo método de Euler
.
Passo 3
Método do ponto médio
A ideia é usar
A ideia é usar
Para
:
Para
:
Logo, pelo ponto médio
.
Passo 4
Método de Euler aperfeiçoado (Heun)
Usamos o predictor–corrector
Usamos o predictor–corrector
Para
:
Para
:
Logo, pelo Euler aperfeiçoado
.
Passo 5
Runge–Kutta de 4ª ordem
Num passo genérico:
Num passo genérico:
Dois passos dão
e
.
Assim, pelo RK4 .
Assim, pelo RK4
Resposta
Euler explícito:
Ponto médio:
Euler aperfeiçoado:
Runge–Kutta de 4ª ordem:
Ponto médio:
Euler aperfeiçoado:
Runge–Kutta de 4ª ordem: