Em cada um dos PVI’s abaixo, aproxime y(0.4) pelo método de Euler, método do ponto médio, método de Euler aperfeiçoado e Runge-Kutta de 4a ordem, utilizando h=0.2.
y^{\prime}=-x y \quad y(0)=1;

Passo 1

Temos o PVI
y' = -x\,y,\quad y(0)=1
e queremos aproximar y(0.4) com passo h=0.2 pelos métodos de Euler explícito, ponto médio, Euler aperfeiçoado (Heun) e Runge–Kutta de 4ª ordem. Em cada caso usaremos a iteração
x_{n+1}=x_n+h,\quad y_{n+1}\approx y_n+\text{“correção”},çã
onde a correção varia conforme o método.

Passo 2

Método de Euler explícito
A fórmula é
y_{n+1}=y_n + h\,f(x_n,y_n),
com f(x,y)=-x\,y.
Para n=0:
x_0=0,\;y_0=1,\;f(x_0,y_0)=-0\cdot1=0
y_1=1+0.2\cdot0=1
Para n=1:
x_1=0.2,\;y_1=1,\;f(x_1,y_1)=-0.2\cdot1=-0.2
y_2=1+0.2\cdot(-0.2)=0.96
Logo, pelo método de Euler y(0.4)\approx0.96.

Passo 3

Método do ponto médio
A ideia é usar
k_1=f(x_n,y_n),\quad y_{n+\tfrac12}=y_n+\tfrac h2\,k_1,\quad k_2=f\bigl(x_n+\tfrac h2,y_{n+\tfrac12}\bigr),
y_{n+1}=y_n + h\,k_2.
Para n=0:
k_1=f(0,1)=0,\quad y_{0.5}=1+0.1\cdot0=1,
k_2=f(0.1,1)=-0.1\cdot1=-0.1,\quad y_1=1+0.2\cdot(-0.1)=0.98.
Para n=1:
k_1=f(0.2,0.98)=-0.2\cdot0.98=-0.196,\quad y_{1.5}=0.98+0.1\cdot(-0.196)=0.9604,
k_2=f(0.3,0.9604)=-0.3\cdot0.9604=-0.28812,\quad y_2=0.98+0.2\cdot(-0.28812)=0.922376.
Logo, pelo ponto médio y(0.4)\approx0.922376.

Passo 4

Método de Euler aperfeiçoado (Heun)
Usamos o predictor–corrector
\tilde y_{n+1}=y_n+h\,f(x_n,y_n),\quad y_{n+1}=y_n+\tfrac h2\bigl[f(x_n,y_n)+f(x_{n+1},\tilde y_{n+1})\bigr].
Para n=0:
\tilde y_1=1+0.2\cdot0=1,\quad f(x_1,\tilde y_1)=-0.2,\quad y_1=1+0.1\,(0-0.2)=0.98.
Para n=1:
\tilde y_2=0.98+0.2\cdot(-0.196)=0.9408,\quad f(x_2,\tilde y_2)=-0.4\cdot0.9408=-0.37632,
y_2=0.98+0.1\,\bigl(-0.196-0.37632\bigr)=0.922768.
Logo, pelo Euler aperfeiçoado y(0.4)\approx0.922768.

Passo 5

Runge–Kutta de 4ª ordem
Num passo genérico:
k_1=f(x_n,y_n), \quad k_2=f\Bigl(x_n+\tfrac h2,y_n+\tfrac h2\,k_1\Bigr), \quad k_3=f\Bigl(x_n+\tfrac h2,y_n+\tfrac h2\,k_2\Bigr), \quad k_4=f(x_n+h,y_n+h\,k_3),
y_{n+1}=y_n+\frac h6\bigl(k_1+2k_2+2k_3+k_4\bigr).
Dois passos dão
y_1\approx0.98019867 e
y_2\approx0.92311629.
Assim, pelo RK4 y(0.4)\approx0.92311629.

Resposta

Euler explícito: 0.96
Ponto médio: 0.922376
Euler aperfeiçoado: 0.922768
Runge–Kutta de 4ª ordem: 0.923116

Exercícios relacionados