Em cada um dos PVI’s abaixo, aproxime y(0.4) pelo método de Euler, método do ponto médio, método de Euler aperfeiçoado e Runge-Kutta de 4a ordem, utilizando h=0.2.
y^{\prime}=x^{2}-y \quad y(0)=1;

Passo 1

O problema é o PVI
y' = x^2 - y,\quad y(0)=1
e queremos aproximar y(0.4) usando passo h=0.2 pelos métodos de Euler explícito, ponto médio, Euler aperfeiçoado (Heun) e Runge–Kutta de 4ª ordem. Para cada método vamos percorrer dois passos: de x_0=0 a x_1=0.2 e de x_1=0.2 a x_2=0.4.

Passo 2

Aplicando o método de Euler explícito, cuja fórmula é
y_{n+1}=y_n + h\,f(x_n,y_n),
com f(x,y)=x^2-y:
– No passo 1: x_0=0, y_0=1,
f_0 = f(0,1)=0^2-1=-1,\quad y_1 = 1 + 0.2\cdot(-1)=0.8.
– No passo 2: x_1=0.2, y_1=0.8,
f_1 = f(0.2,0.8)=0.04-0.8=-0.76,\quad y_2 = 0.8 + 0.2\cdot(-0.76)=0.648.

Passo 3

Aplicando o método do ponto médio, cuja fórmula é
y_{n+1}=y_n + h\,f\!\bigl(x_n+\tfrac h2,\;y_n+\tfrac h2\,f(x_n,y_n)\bigr),
fazemos:
– Passo 1:
\;f_0=-1,\quad x_{0.5}=0.1,\quad y_{0.5}=1+0.1\cdot(-1)=0.9,\quad f_{0.5}=0.01-0.9=-0.89,
\;y_1=1+0.2\cdot(-0.89)=0.822.
– Passo 2:
\;f_1=f(0.2,0.822)=0.04-0.822=-0.782,\; x_{1.5}=0.3,\; y_{1.5}=0.822+0.1\cdot(-0.782)=0.7438,\; f_{1.5}=0.09-0.7438=-0.6538,
\;y_2=0.822+0.2\cdot(-0.6538)=0.69124.

Passo 4

Aplicando o método de Euler aperfeiçoado (Heun), cuja fórmula é
y_{n+1}=y_n + \frac h2\Bigl(f(x_n,y_n)+f\bigl(x_{n+1},\,y_n+h\,f(x_n,y_n)\bigr)\Bigr),
fazemos:
– Passo 1:
\;f_0=-1,\;y^{\text{pred}}=1+0.2\cdot(-1)=0.8,\;f^{\text{pred}}=0.04-0.8=-0.76,
\;y_1=1+\tfrac{0.2}{2}(-1-0.76)=1+0.1(-1.76)=0.824.
– Passo 2:
\;f_1=0.04-0.824=-0.784,\;y^{\text{pred}}_2=0.824+0.2\cdot(-0.784)=0.6672,\;f^{\text{pred}}_2=0.16-0.6672=-0.5072,
\;y_2=0.824+0.1(-0.784-0.5072)=0.69488.

Passo 5

Aplicando Runge–Kutta de 4ª ordem, cujas fórmulas são
\begin{aligned} k_1&=f(x_n,y_n),\\\ k_2&=f\bigl(x_n+\tfrac h2,\;y_n+\tfrac h2\,k_1\bigr),\\\ k_3&=f\bigl(x_n+\tfrac h2,\;y_n+\tfrac h2\,k_2\bigr),\\\ k_4&=f(x_n+h,\;y_n+h\,k_3),\\\ y_{n+1}&=y_n + \frac h6\,(k_1+2k_2+2k_3+k_4). \end{aligned}
– Passo 1: x_0=0,y_0=1:
\;k_1=-1,\;k_2=-0.89,\;k_3=-0.901,\;k_4=-0.7798,
\;y_1=1+\frac{0.2}{6}(-1-1.78-1.802-0.7798)=0.82127.
– Passo 2: x_1=0.2,y_1\approx0.82127:
\;k_1=-0.78127,\;k_2=-0.65315,\;k_3=-0.66596,\;k_4=-0.52808,
\;y_2=0.82127+\tfrac{0.2}{6}(-0.78127-1.30630-1.33192-0.52808)=0.68969.

Resposta

Euler explícito: y(0.4)\approx0.648
Ponto médio: y(0.4)\approx0.69124
Euler aperfeiçoado: y(0.4)\approx0.69488
Runge–Kutta 4ª ordem: y(0.4)\approx0.68969

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