Em cada um dos PVI’s abaixo, aproxime y(0.4) pelo método de Euler, método do ponto médio, método de Euler aperfeiçoado e Runge-Kutta de 4a ordem, utilizando h=0.2.
y^{\prime}=\left(1-\frac{4}{3} x\right) y \quad y(0)=1;

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y'=\Bigl(1-\tfrac{4}{3}x\Bigr)\,y, \quad y(0)=1
e pede a aproximação de y(0.4) usando os métodos de Euler, ponto médio, Euler aperfeiçoado (Heun) e Runge–Kutta de 4ª ordem, com passo h=0.2.

Passo 2

Método de Euler
No método de Euler usamos a fórmula de iteração
y_{n+1}=y_n + h\,f(x_n,y_n),
com f(x,y)=(1-\tfrac{4}{3}x)\,y. Temos duas etapas ( x_0=0, x_1=0.2, x_2=0.4):
Para n=0:
f(x_0,y_0)=f(0,1)=1, \quad y_1=1+0.2\cdot1=1.2.
Para n=1:
f(x_1,y_1)=\bigl(1-\tfrac{4}{3}\cdot0.2\bigr)\,1.2 =0.7333\cdot1.2=0.88, \quad y_2=1.2+0.2\cdot0.88=1.376.
Logo, pelo método de Euler, y(0.4)\approx1.376.

Passo 3

Método do ponto médio
Nesse método calculamos
k_1 = f(x_n,y_n), \quad k_2 = f\bigl(x_n+\tfrac h2,\;y_n+\tfrac h2\,k_1\bigr), \quad y_{n+1}=y_n+h\,k_2.
Primeira etapa ( n=0):
k_1 = f(0,1)=1, \quad k_2 = f\bigl(0.1,\,1+0.1\cdot1\bigr)=f(0.1,1.1) =0.8667\cdot1.1=0.95333,
y_1=1+0.2\cdot0.95333=1.1906667.
Segunda etapa ( n=1):
k_1 = f(0.2,1.190667)=0.7333\cdot1.190667=0.87316,
k_2 = f\bigl(0.3,\,1.190667+0.1\cdot0.87316\bigr) = f(0.3,1.277983) =0.6\cdot1.277983=0.76679,
y_2=1.190667+0.2\cdot0.76679=1.3440246.
Logo, pelo ponto médio, y(0.4)\approx1.3440.

Passo 4

Método de Euler aperfeiçoado (Heun)
Usamos o esquema
y_{n+1}=y_n+\tfrac h2\bigl[f(x_n,y_n)+f(x_{n+1},y_n+h\,f(x_n,y_n))\bigr].
Primeira etapa ( n=0):
y_1^*=1+0.2\cdot1=1.2, \quad f(x_1,y_1^*)=f(0.2,1.2)=0.88,
y_1=1+0.1\,(1+0.88)=1.188.
Segunda etapa ( n=1):
y_2^*=1.188+0.2\cdot f(0.2,1.188) =1.188+0.2\cdot0.8704=1.36208,
f(0.4,1.36208)=0.4667\cdot1.36208=0.63564,
y_2=1.188+0.1\,(0.8704+0.63564)=1.3386037.
Logo, pelo método de Heun, y(0.4)\approx1.3386.

Passo 5

Runge–Kutta de 4ª ordem
A cada etapa computamos
\begin{aligned} k_1&=f(x_n,y_n),\\\ k_2&=f\bigl(x_n+\tfrac h2,\;y_n+\tfrac h2\,k_1\bigr),\\\ k_3&=f\bigl(x_n+\tfrac h2,\;y_n+\tfrac h2\,k_2\bigr),\\\ k_4&=f\bigl(x_n+h,\;y_n+h\,k_3\bigr),\\\ y_{n+1}&=y_n+\tfrac h6\,(k_1+2k_2+2k_3+k_4). \end{aligned}
Primeira etapa ( n=0) dá y_1\approx1.1893092.
Segunda etapa ( n=1) dá
y_2\approx1.3409705.
Logo, pelo RK4, y(0.4)\approx1.3410.

Resposta

Euler: y(0.4)\approx1.376
Ponto médio: y(0.4)\approx1.344
Euler aperfeiçoado: y(0.4)\approx1.3386
Runge–Kutta 4ª ordem: y(0.4)\approx1.3410

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