Em cada um dos PVI’s abaixo, aproxime
pelo método de Euler, método do ponto médio, método de Euler aperfeiçoado e Runge-Kutta de 4a ordem, utilizando
.
;
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial
e pede a aproximação de
usando os métodos de Euler, ponto médio, Euler aperfeiçoado (Heun) e Runge–Kutta de 4ª ordem, com passo
.
Passo 2
Método de Euler
No método de Euler usamos a fórmula de iteração
No método de Euler usamos a fórmula de iteração
com
. Temos duas etapas (
,
,
):
Para
:
Para
:
Logo, pelo método de Euler,
.
Passo 3
Método do ponto médio
Nesse método calculamos
Nesse método calculamos
Primeira etapa (
):
Segunda etapa (
):
Logo, pelo ponto médio,
.
Passo 4
Método de Euler aperfeiçoado (Heun)
Usamos o esquema
Usamos o esquema
Primeira etapa (
):
Segunda etapa (
):
Logo, pelo método de Heun,
.
Passo 5
Runge–Kutta de 4ª ordem
A cada etapa computamos
A cada etapa computamos
Primeira etapa (
) dá
.
Segunda etapa ( ) dá
Segunda etapa (
Logo, pelo RK4,
.
Resposta
Euler:
Ponto médio:
Euler aperfeiçoado:
Runge–Kutta 4ª ordem:
Ponto médio:
Euler aperfeiçoado:
Runge–Kutta 4ª ordem: