Para cada sequência de pontos, Aproxime uma função pelo método dos mínimos quadrados utilizando qualquer metodologia EXCETO a de matrizes, aproximando por uma função do segundo grau:
X 0.12 0.25 0.63 0.85
Y 3 3 3 3

Passo 1

Beleza, o problema pede pra aproximar por mínimos quadrados uma função do segundo grau
f(x)=ax^2+bx+c
usando os pontos
(0.12,3),(0.25,3),(0.63,3),(0.85,3)
Conteúdo: método dos mínimos quadrados (normalmente a gente monta as “equações normais”).
O que vamos precisar:
  1. Calcular as somas (Σx, Σx², Σx³, Σx⁴, Σy, Σx y, Σx² y)
  2. Montar as 3 equações normais (derivadas parciais = 0)
  3. Resolver para a, b, c

Passo 2

Calculando as somas (cada y=3):
Σy = 3+3+3+3 = 12
Σx = 0.12+0.25+0.63+0.85 = 1.85
Σx² = 0.12²+0.25²+0.63²+0.85² = 1.1963
Σx³ = 0.12³+0.25³+0.63³+0.85³ = 0.881525
Σx⁴ = 0.12⁴+0.25⁴+0.63⁴+0.85⁴ = 0.68364861
Σx y = 3·Σx = 3·1.85 = 5.55
Σx² y = 3·Σx² = 3·1.1963 = 3.5889

Passo 3

As equações normais vêm de minimizar
S(a,b,c)=sumil(axi^2+bxi+c-yir)^2
e colocar
∂S∂a=0,∂S∂b=0,∂S∂c=0
Isso gera o sistema:
(1) ,Sigma x^4,a ;+;Sigma x^3,b;+;Sigma x^2,c ;=;Sigma x^2y
(2) ,Sigma x^3,a ;+;Sigma x^2,b;+;Sigma x,c ;=;Sigma x,y
(3) ,Sigma x^2,a ;+;Sigma x,b;+;n,c ;=;Sigma y
Substituindo os valores:
(1) 0.68364861,a+0.881525,b+1.1963,c=3.5889
(2) 0.881525,a+1.1963,b+1.85,c=5.55
(3) 1.1963,a+1.85,b+4,c=12

Passo 4

Como todos os y são iguais (3), intuitivamente a gente espera que o melhor ajuste seja a reta horizontal c=3
Vamos confirmar:
Da equação (2), colocando c=3:
0.881525,a+1.1963,b+1.85·3=5.55;Rightarrow;0.881525,a+1.1963,b=0
(logo b=-(0.881525/1.1963),a).
Da eq. (1), também com c=3:
0.68364861,a+0.881525,b+1.1963·3=3.5889;Rightarrow;0.68364861,a+0.881525,b=0
Substituindo b
(0.68364861 -0.881525·0.73705),a=0;Rightarrow;0.0339,a=0;Rightarrow;a=0,
Então b=0 e c=3,.

Resposta

A função do 2º grau que melhor se ajusta (por mínimos quadrados) é
boxedf(x)=3,

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