Para cada sequência de pontos, Aproxime uma função pelo método dos mínimos quadrados utilizando qualquer metodologia EXCETO a de matrizes, aproximando por uma função do segundo grau:
X | 0.12 | 0.25 | 0.63 | 0.85 |
---|---|---|---|---|
Y | 3 | 3 | 3 | 3 |
Passo 1
Beleza, o problema pede pra aproximar por mínimos quadrados uma função do segundo grau
usando os pontos
Conteúdo: método dos mínimos quadrados (normalmente a gente monta as “equações normais”).
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Calcular as somas (Σx, Σx², Σx³, Σx⁴, Σy, Σx y, Σx² y)
- Montar as 3 equações normais (derivadas parciais = 0)
- Resolver para a, b, c
Passo 2
Calculando as somas (cada y=3):
Σy = 3+3+3+3 = 12
Σx = 0.12+0.25+0.63+0.85 = 1.85
Σx² = 0.12²+0.25²+0.63²+0.85² = 1.1963
Σx³ = 0.12³+0.25³+0.63³+0.85³ = 0.881525
Σx⁴ = 0.12⁴+0.25⁴+0.63⁴+0.85⁴ = 0.68364861
Σx y = 3·Σx = 3·1.85 = 5.55
Σx² y = 3·Σx² = 3·1.1963 = 3.5889
Σy = 3+3+3+3 = 12
Σx = 0.12+0.25+0.63+0.85 = 1.85
Σx² = 0.12²+0.25²+0.63²+0.85² = 1.1963
Σx³ = 0.12³+0.25³+0.63³+0.85³ = 0.881525
Σx⁴ = 0.12⁴+0.25⁴+0.63⁴+0.85⁴ = 0.68364861
Σx y = 3·Σx = 3·1.85 = 5.55
Σx² y = 3·Σx² = 3·1.1963 = 3.5889
Passo 3
As equações normais vêm de minimizar
e colocar
Isso gera o sistema:
(1)
(2)
(3)
(1)
(2)
(3)
Substituindo os valores:
(1)
(2)
(3)
(1)
(2)
(3)
Passo 4
Como todos os y são iguais (3), intuitivamente a gente espera que o melhor ajuste seja a reta horizontal
Vamos confirmar:
Da equação (2), colocando :
Vamos confirmar:
Da equação (2), colocando
(logo
Da eq. (1), também com
Substituindo
dá
Então
Resposta
A função do 2º grau que melhor se ajusta (por mínimos quadrados) é