Verifique se o método de Gauss-Seidel gera uma sequência convergente.
Caso o item anterior seja afirmativo, Use o método de Gauss-Seidel para resolver o seguinte sistema até que o erro relativo porcentual caia abaixo de \varepsilon_{s}=5 \%.
Ou, em forma matricial, (A x = b] com A=\begin{pmatrix}2 & -6 & -1\\[2pt]-3 & -1 & 7\\[2pt]-8 & 1 & -2\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}-38\\[2pt]-34\\[2pt]-20\end{pmatrix}.]
Passo 2
O que é preciso saber sobre Gauss–Seidel (mini-aula):
Escrevemos A como \;A=D+L+U\; onde D é a diagonal, L a parte estritamente triangular inferior e U a parte estritamente triangular superior.
A iteração de Gauss–Seidel pode ser escrita como
x^{(k+1)} = -(D+L)^{-1} U\, x^{(k)} + (D+L)^{-1} b.
O termo
G_{GS}=-(D+L)^{-1} U
é a matriz de iteração. Uma condição necessária e suficiente para que Gauss–Seidel convirja para a solução para qualquer chute inicial é que o raio espectral de G_{GS} seja menor que 1, isto é \rho(G_{GS})<1.
Há condições suficientes mais simples que podemos checar primeiro: se A for estritamente diagonalmente dominante por linhas (ou simétrica definida positiva), então Gauss–Seidel converge. Essas condições são fáceis de verificar; caso não se verifiquem, podemos calcular \rho(G_{GS}) explicitamente.
Passo 3
Verificação de dominância diagonal (teste rápido, passo a passo):
Linha 1: |a_{11}| = |2| = 2. Soma dos módulos dos outros elementos da linha: |-6|+|-1| = 6+1=7. Como 2 \not> 7, não há dominância estrita na linha 1.
Linha 2: |a_{22}| = |-1| = 1. Soma dos outros: |-3|+|7|=3+7=10. 1 \not> 10.
Linha 3: |a_{33}| = |-2| = 2. Soma dos outros: |-8|+|1|=8+1=9. 2 \not>9.
Conclusão: a matriz A não é estritamente diagonalmente dominante por linhas (a condição suficiente falha). Precisamos analisar de forma mais direta o raio espectral de G_{GS}.
Para obter G_{GS} precisamos calcular (D+L)^{-1}U. Em vez de inverter explicitamente, vamos resolver sistemas triangulares para as colunas de U. Note que a primeira coluna de U é nula, então a primeira coluna de G_{GS} será nula.
Coluna 2 de U é \begin{pmatrix}-6\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}. Resolva (D+L)\,y = \begin{pmatrix}-6\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}:
Logo z=\begin{pmatrix}-0{,}5\\[2pt]-5{,}5\\[2pt]-0{,}75\end{pmatrix} e a terceira coluna de G_{GS} é -z = \begin{pmatrix}0{,}5\\[2pt]5{,}5\\[2pt]0{,}75\end{pmatrix}.
Cálculo do raio espectral \rho(G_{GS}) (passo a passo):
Para achar autovalores, calculamos o determinante de G_{GS}-\lambda I. Observe que a primeira coluna de G_{GS} é nula, então \lambda=0 é um autovalor imediatamente (coluna nula implica determinante com fator -\lambda).
Escrevendo a matriz G_{GS}-\lambda I e desenvolvendo pelo primeiro elemento da primeira linha obtemos o polinômio característico factorado em -\lambda vezes o determinante de um 2\times2:
Um autovalor é \lambda_{1}=0. Os outros dois são raízes complexas da quadrática. Note que o produto das duas raízes complexas é 84 (termo constante da quadrática). Para raízes complexas conjugadas r e \overline{r} tem-se |r|^{2}=r\overline{r}=84, portanto o módulo de cada uma é |r|=\sqrt{84}.
Como \rho(G_{GS})>1, a iteração de Gauss–Seidel diverge (gera uma sequência que, em geral, não converge para a solução) para a maior parte dos chutes iniciais. Portanto, o método de Gauss–Seidel NÃO gera uma sequência convergente neste caso; a segunda parte do enunciado (usar Gauss–Seidel até erro relativo <5\%) não é aplicável porque a iteração não converge.
Em outras palavras: não podemos aplicar Gauss–Seidel de forma confiável para atingir o critério \varepsilon_{s}=5\% neste sistema, pois as iterações tendem a crescer/oscilarem em vez de aproximar a solução.
Passo 7
Resolver o sistema por eliminação (para ter a solução exata e comparar):
Fazendo eliminação de Gauss (passos descritos):
A partir de 2x_{1}-6x_{2}-x_{3}=-38 e eliminando abaixo obtemos, após operações, a forma escalonada