(1) Em cada um dos sistemas abaixo
  • Verifique se o método de Gauss-Seidel gera uma sequência convergente.
  • Caso o item anterior seja afirmativo, Use o método de Gauss-Seidel para resolver o seguinte sistema até que o erro relativo porcentual caia abaixo de \varepsilon_{s}=5 \%.
\left\{\begin{array}{l}2 x_{1}-6 x_{2}-x_{3}=-38 \\\ -3 x_{1}-x_{2}+7 x_{3}=-34 \\\ -8 x_{1}+x_{2}-2 x_{3}=-20\end{array}\right.
Compare com o execício (2)(c) da Eliminação de Gauss.

Passo 1

O que o exercício pede:
  • Verificar se o método de Gauss–Seidel gera uma sequência convergente para o sistema dado.
  • Caso positivo, aplicar Gauss–Seidel até que o erro relativo percentual caia abaixo de [\varepsilon_{s}=5%).
Informações fornecidas (o sistema):
\begin{cases} 2x_{1}-6x_{2}-x_{3}=-38\\[4pt] -3x_{1}-x_{2}+7x_{3}=-34\\[4pt] -8x_{1}+x_{2}-2x_{3}=-20 \end{cases}
Ou, em forma matricial, (A x = b] com
A=\begin{pmatrix}2 & -6 & -1\\[2pt]-3 & -1 & 7\\[2pt]-8 & 1 & -2\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}-38\\[2pt]-34\\[2pt]-20\end{pmatrix}.]

Passo 2

O que é preciso saber sobre Gauss–Seidel (mini-aula):
  • Escrevemos A como \;A=D+L+U\; onde D é a diagonal, L a parte estritamente triangular inferior e U a parte estritamente triangular superior.
  • A iteração de Gauss–Seidel pode ser escrita como
x^{(k+1)} = -(D+L)^{-1} U\, x^{(k)} + (D+L)^{-1} b.
  • O termo
G_{GS}=-(D+L)^{-1} U
é a matriz de iteração. Uma condição necessária e suficiente para que Gauss–Seidel convirja para a solução para qualquer chute inicial é que o raio espectral de G_{GS} seja menor que 1, isto é \rho(G_{GS})<1.
  • Há condições suficientes mais simples que podemos checar primeiro: se A for estritamente diagonalmente dominante por linhas (ou simétrica definida positiva), então Gauss–Seidel converge. Essas condições são fáceis de verificar; caso não se verifiquem, podemos calcular \rho(G_{GS}) explicitamente.

Passo 3

Verificação de dominância diagonal (teste rápido, passo a passo):
  • Linha 1: |a_{11}| = |2| = 2. Soma dos módulos dos outros elementos da linha: |-6|+|-1| = 6+1=7. Como 2 \not> 7, não há dominância estrita na linha 1.
  • Linha 2: |a_{22}| = |-1| = 1. Soma dos outros: |-3|+|7|=3+7=10. 1 \not> 10.
  • Linha 3: |a_{33}| = |-2| = 2. Soma dos outros: |-8|+|1|=8+1=9. 2 \not>9.
Conclusão: a matriz A não é estritamente diagonalmente dominante por linhas (a condição suficiente falha). Precisamos analisar de forma mais direta o raio espectral de G_{GS}.

Passo 4

Calcular D, L, U e montar G_{GS}=-(D+L)^{-1}U:
  • Matriz diagonal D:
D=\begin{pmatrix}2&0&0\\[2pt]0&-1&0\\[2pt]0&0&-2\end{pmatrix}.
  • Parte estritamente inferior L:
L=\begin{pmatrix}0&0&0\\[2pt]-3&0&0\\[2pt]-8&1&0\end{pmatrix}.
  • Parte estritamente superior U:
U=\begin{pmatrix}0&-6&-1\\[2pt]0&0&7\\[2pt]0&0&0\end{pmatrix}.
  • Então
D+L=\begin{pmatrix}2&0&0\\[2pt]-3&-1&0\\[2pt]-8&1&-2\end{pmatrix}.
Para obter G_{GS} precisamos calcular (D+L)^{-1}U. Em vez de inverter explicitamente, vamos resolver sistemas triangulares para as colunas de U. Note que a primeira coluna de U é nula, então a primeira coluna de G_{GS} será nula.
Coluna 2 de U é \begin{pmatrix}-6\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}. Resolva (D+L)\,y = \begin{pmatrix}-6\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}:
  • Equações (escalonadas):
    1. 2 y_1 = -6 \Rightarrow y_1 = -3.
    2. -3 y_1 - 1 y_2 = 0 \Rightarrow -3(-3) - y_2 = 0 \Rightarrow y_2 = 9.
    3. -8 y_1 + 1 y_2 -2 y_3 = 0 \Rightarrow -8(-3) + 9 -2 y_3 = 0 \Rightarrow 33 - 2 y_3 = 0 \Rightarrow y_3 = 16{,}5.
Logo y = \begin{pmatrix}-3\\[2pt]9\\[2pt]16{,}5\end{pmatrix} e a segunda coluna de G_{GS} é -y = \begin{pmatrix}3\\[2pt]-9\\[2pt]-16{,}5\end{pmatrix}.
Coluna 3 de U é \begin{pmatrix}-1\\[2pt]7\\[2pt]0\end{pmatrix}. Resolva (D+L)\,z = \begin{pmatrix}-1\\\ 7\\\ 0\end{pmatrix}:
  • Equações:
    1. 2 z_1 = -1 \Rightarrow z_1 = -\tfrac{1}{2}.
    2. -3 z_1 - z_2 = 7 \Rightarrow -3(-\tfrac{1}{2}) - z_2 = 7 \Rightarrow 1{,}5 - z_2 = 7 \Rightarrow z_2 = -5{,}5.
    3. -8 z_1 + z_2 -2 z_3 = 0 \Rightarrow -8(-\tfrac{1}{2}) + (-5{,}5) - 2 z_3 = 0 \Rightarrow 4 -5{,}5 -2 z_3 = 0 \Rightarrow -1{,}5 -2 z_3 = 0 \Rightarrow z_3 = -0{,}75.
Logo z=\begin{pmatrix}-0{,}5\\[2pt]-5{,}5\\[2pt]-0{,}75\end{pmatrix} e a terceira coluna de G_{GS} é -z = \begin{pmatrix}0{,}5\\[2pt]5{,}5\\[2pt]0{,}75\end{pmatrix}.
Portanto a matriz de iteração é
G_{GS}=\begin{pmatrix} 0 & 3 & 0{,}5\\[4pt] 0 & -9 & 5{,}5\\[4pt] 0 & -16{,}5 & 0{,}75 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Cálculo do raio espectral \rho(G_{GS}) (passo a passo):
  • Para achar autovalores, calculamos o determinante de G_{GS}-\lambda I. Observe que a primeira coluna de G_{GS} é nula, então \lambda=0 é um autovalor imediatamente (coluna nula implica determinante com fator -\lambda).
  • Escrevendo a matriz G_{GS}-\lambda I e desenvolvendo pelo primeiro elemento da primeira linha obtemos o polinômio característico factorado em -\lambda vezes o determinante de um 2\times2:
\det(G_{GS}-\lambda I) = -\lambda\;\det\begin{pmatrix}-9-\lambda & 5{,}5\\[2pt]-16{,}5 & 0{,}75-\lambda\end{pmatrix}.
  • Calcule o determinante 2\times2:
(-9-\lambda)(0{,}75-\lambda) - 5{,}5(-16{,}5) = \lambda^{2} + 8{,}25\lambda + 84.
(Detalhe: 5{,}5\cdot16{,}5 = 90{,}75 e -6{,}75 + 90{,}75 = 84.)
  • Assim os autovalores satisfazem
\lambda\left(\lambda^{2} + 8{,}25\lambda + 84\right)=0.
Um autovalor é \lambda_{1}=0. Os outros dois são raízes complexas da quadrática. Note que o produto das duas raízes complexas é 84 (termo constante da quadrática). Para raízes complexas conjugadas r e \overline{r} tem-se |r|^{2}=r\overline{r}=84, portanto o módulo de cada uma é |r|=\sqrt{84}.
  • Finalmente,
\sqrt{84}\approx 9{,}165\; (>1).
Logo o raio espectral é
\rho(G_{GS})=\max\{\,0,\sqrt{84}\,\}=\sqrt{84}\approx 9{,}165>1.]

Passo 6

Conclusão sobre convergência:
  • Como \rho(G_{GS})>1, a iteração de Gauss–Seidel diverge (gera uma sequência que, em geral, não converge para a solução) para a maior parte dos chutes iniciais. Portanto, o método de Gauss–Seidel NÃO gera uma sequência convergente neste caso; a segunda parte do enunciado (usar Gauss–Seidel até erro relativo <5\%) não é aplicável porque a iteração não converge.
  • Em outras palavras: não podemos aplicar Gauss–Seidel de forma confiável para atingir o critério \varepsilon_{s}=5\% neste sistema, pois as iterações tendem a crescer/oscilarem em vez de aproximar a solução.

Passo 7

Resolver o sistema por eliminação (para ter a solução exata e comparar):
  • Fazendo eliminação de Gauss (passos descritos):
    1. A partir de 2x_{1}-6x_{2}-x_{3}=-38 e eliminando abaixo obtemos, após operações, a forma escalonada
    \begin{pmatrix} 2 & -6 & -1 & | & -38\\[2pt] 0 & -10 & 5{,}5 & | & -91\\[2pt] 0 & 0 & -18{,}65 & | & 37{,}3 \end{pmatrix}.
    1. Da terceira equação: -18{,}65\,x_{3}=37{,}3 \Rightarrow x_{3}=-2.
    2. Substituindo na segunda: -10\,x_{2}+5{,}5(-2)=-91 \Rightarrow -10x_{2}-11=-91 \Rightarrow x_{2}=8.
    3. Substituindo na primeira: 2x_{1}-6(8)-(-2)=-38 \Rightarrow 2x_{1}-48+2=-38 \Rightarrow 2x_{1}=8 \Rightarrow x_{1}=4.
  • Solução exata obtida:
x=\begin{pmatrix}4\\[2pt]8\\[2pt]-2\end{pmatrix}.]

Resposta

Gauss–Seidel não gera sequência convergente (raio espectral \rho(G_{GS})=\sqrt{84}\approx 9{,}165>1).
Solução exata pelo método direto (eliminação de Gauss): \displaystyle x=\begin{pmatrix}4\\[2pt]8\\[2pt]-2\end{pmatrix}.]

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