Questão 04: Seja
tal que 2 não divide
e 3 não divide
. Prove que
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
- Dados:
, e . - Pedido: provar que
. Ou, de forma simplificada, provar que .
Passo 2
Estratégia (explicada de modo simples): para mostrar que
divide um inteiro basta mostrar que ele é divisível por
e por
, porque
e
são primos entre si e
. Ou seja, se
e
então
. Portanto vamos provar separadamente que
e
.
Passo 3
Provar que
.
Como
, o resto da divisão de
por
é ou
ou
. Isso significa que existem inteiros
tais que
ou
(pois
). Agora calculamos em cada caso:
que é múltiplo de
.
que também é múltiplo de
.
Logo, em ambos os casos
. Em termos modulares:
implica
, então
.
Passo 4
Provar que
.
Como
, o inteiro
é ímpar. Assim existem inteiros
tais que
ou
. Calculamos:
e
Em ambos os casos a expressão é múltiplo de
porque aparece o fator
multiplicando um inteiro. (Observação extra: como um dos números
e
é par,
tem na verdade fator
, mas para nosso objetivo já basta o fator
.)
Portanto
.
Passo 5
Conclusão final: já provamos que
e
. Como
, segue que
e, portanto,
. Isso é exatamente o que queríamos demonstrar.