Questão 04: Seja a \in \mathbb{Z} tal que 2 não divide a e 3 não divide a. Prove que
12 \mid(a \cdot a+(-1)) .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Dados: a \in \mathbb{Z}, 2 \nmid a e 3 \nmid a.
  • Pedido: provar que 12 \mid (a\cdot a + (-1)). Ou, de forma simplificada, provar que 12 \mid (a^{2}-1).

Passo 2

Estratégia (explicada de modo simples): para mostrar que 12 divide um inteiro basta mostrar que ele é divisível por 3 e por 4, porque 3 e 4 são primos entre si e \operatorname{lcm}(3,4)=12. Ou seja, se 3\mid n e 4\mid n então 12\mid n. Portanto vamos provar separadamente que 3\mid (a^{2}-1) e 4\mid (a^{2}-1).

Passo 3

Provar que 3 \mid (a^{2}-1).
Como 3\nmid a, o resto da divisão de a por 3 é ou 1 ou 2. Isso significa que existem inteiros k tais que a=3k+1 ou a=3k-1 (pois 2\equiv -1 \pmod{3}). Agora calculamos em cada caso:
(3k+1)^{2}-1 = 9k^{2}+6k+1-1 = 3(3k^{2}+2k),
que é múltiplo de 3.
(3k-1)^{2}-1 = 9k^{2}-6k+1-1 = 3(3k^{2}-2k),
que também é múltiplo de 3.
Logo, em ambos os casos 3\mid (a^{2}-1). Em termos modulares: a\equiv \pm 1\pmod{3} implica a^{2}\equiv 1\pmod{3}, então a^{2}-1\equiv 0\pmod{3}.

Passo 4

Provar que 4 \mid (a^{2}-1).
Como 2\nmid a, o inteiro a é ímpar. Assim existem inteiros k tais que a=2k+1 ou a=2k-1. Calculamos:
(2k+1)^{2}-1 = 4k(k+1),
e
(2k-1)^{2}-1 = 4k(k-1).
Em ambos os casos a expressão é múltiplo de 4 porque aparece o fator 4 multiplicando um inteiro. (Observação extra: como um dos números k e k+1 é par, 4k(k+1) tem na verdade fator 8, mas para nosso objetivo já basta o fator 4.)
Portanto 4\mid (a^{2}-1).

Passo 5

Conclusão final: já provamos que 3\mid (a^{2}-1) e 4\mid (a^{2}-1). Como \gcd(3,4)=1, segue que \operatorname{lcm}(3,4)=12 e, portanto, 12\mid (a^{2}-1). Isso é exatamente o que queríamos demonstrar.

Resposta

12 \mid (a^{2}-1)

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