Calcular
para
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a diferença dividida de ordem
de
, ou seja
. Vamos usar o conceito de diferenças divididas e uma prova por indução.
Passo 2
Lembrando que a diferença dividida de ordem
é definida recursivamente: para
,
, e para
vale
Passo 3
Vamos calcular os primeiros casos para identificar o padrão. Para
temos:
Passo 4
Para
aplicamos novamente a definição:
Passo 5
Observamos que
e
. Então conjecturamos que
.
Passo 6
Agora fazemos prova por indução. Suponha que para todo
valha
.
Então para :
Então para
Passo 7
Assim, por indução, a fórmula vale para todo
.