Calcular f(x)=1 / x para .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a diferença dividida de ordem n de f(x)=1/x, ou seja f[x0,dots,xn]. Vamos usar o conceito de diferenças divididas e uma prova por indução.

Passo 2

Lembrando que a diferença dividida de ordem n é definida recursivamente: para n=0, f[xi]=f(xi), e para n>=1 vale
f[xi,dots,xi+n] = f[xi+1,dots,xi+n] - f[xi,dots,xi+n-1]xi+n - xi

Passo 3

Vamos calcular os primeiros casos para identificar o padrão. Para n=1 temos:
f[x0,x1] = 1x1-1x0x1-x0 = -x1 - x0x0 x1 (x1 - x0) = -1x0 x1

Passo 4

Para n=2 aplicamos novamente a definição:
f[x0,x1,x2] = f[x1,x2] - f[x0,x1]x2 - x0 = -1x1x2 - l(-1x0x1r)x2 - x0 = 1x0x1 - 1x1x2x2 - x0 = x2 - x0x0 x1 x2 (x2 - x0) = 1x0 x1 x2

Passo 5

Observamos que
f[x0,x1]=(-1)^1/(x0x1) e f[x0,x1,x2]=(-1)^2/(x0x1x2). Então conjecturamos que
f[x0,dots,xn]=(-1)^n/(x0x1cdots xn).

Passo 6

Agora fazemos prova por indução. Suponha que para todo k valha
f[x0,dots,xk]=(-1)^k/(x0cdots xk).
Então para n:
f[x0,dots,xn] = f[x1,dots,xn] - f[x0,dots,xn-1]xn - x0 = (-1)^n-1x1cdots xn - (-1)^n-1x0cdots xn-1xn - x0 = (-1)^n-1(x0 - xn)x0 x1 cdots xn,(xn - x0) = (-1)^nx0 x1 cdots xn

Passo 7

Assim, por indução, a fórmula vale para todo n.

Resposta

f[x0,dots,xn] = (-1)^nx0 x1 cdots xn

Exercícios relacionados