(Fórmula de Stefenson)
são distintos
, prove que
Passo 1
O problema trata de provar a fórmula de Stefenson para diferenças divididas quando f(x)=g(x)⋅h(x) em pontos distintos x₀,…,xₙ. O conteúdo é diferenças divididas em análise numérica e vamos usar as propriedades recursivas dessas diferenças.
Passo 2
Vamos lembrar que a diferença dividida de ordem zero é u[xᵢ]=u(xᵢ) e, para n≥1, vale
Também usaremos a propriedade
Passo 3
Para n=0 a fórmula reduz a
logo a base da indução está verificada.
Passo 4
Suponha agora que, para toda sequência de tamanho menor que n, valha
Queremos provar o caso m=n.
Passo 5
Pela definição recursiva de diferença dividida temos
Pela hipótese de indução,
Passo 6
Substituindo essas somas em f[x₀,\dots,xₙ] obtém-se
Reindexando a primeira soma pelo índice j=k-1, ambas passam a ter j de 0 a n-1.
Passo 7
Para cada j consideramos o termo
Usando
esse termo vira
Passo 8
Dividindo por (xₙ-x₀) e somando j=0,…,n-1, a parte com g[x₀,…,x_j]h[x_j,…,xₙ] recebe coeficiente (xₙ-x_j)/(xₙ-x₀) e a parte com g[x₀,…,x_{j+1}]h[x_{j+1},…,xₙ] recebe (x_{j+1}-x₀)/(xₙ-x₀). Mudando índice k=j+1 na segunda soma e combinando tudo, cada g[x₀,…,x_k]h[x_k,…,xₙ] aparece com coeficiente 1.
Passo 9
Concluímos então que