(Fórmula de Stefenson) S e x0, x1, ldots, xn são distintos e f(x)=g(x) h(x), prove que
f[x0, ldots, xn]=sumk=0^n g[x0, ldots, xk] h[xk, ldots, xn]

Passo 1

O problema trata de provar a fórmula de Stefenson para diferenças divididas quando f(x)=g(x)⋅h(x) em pontos distintos x₀,…,xₙ. O conteúdo é diferenças divididas em análise numérica e vamos usar as propriedades recursivas dessas diferenças.

Passo 2

Vamos lembrar que a diferença dividida de ordem zero é u[xᵢ]=u(xᵢ) e, para n≥1, vale
u[x₀,dots,xₙ]=u[x₁,dots,xₙ]-u[x₀,dots,xn-1]xₙ-x₀
Também usaremos a propriedade
u[x₁,dots,xk+1]-u[x₀,dots,xk]=(xk+1-x₀),u[x₀,dots,xk+1]

Passo 3

Para n=0 a fórmula reduz a
f[x₀]=g(x₀)h(x₀)=g[x₀],h[x₀]=sumk=0^0g[x₀,dots,xk],h[xk,dots,x₀],
logo a base da indução está verificada.

Passo 4

Suponha agora que, para toda sequência de tamanho menor que n, valha
f[x₀,dots,xm]=sumk=0^mg[x₀,dots,xk],h[xk,dots,xm]
Queremos provar o caso m=n.

Passo 5

Pela definição recursiva de diferença dividida temos
f[x₀,dots,xₙ]=f[x₁,dots,xₙ]-f[x₀,dots,xn-1]xₙ-x₀
Pela hipótese de indução,
f[x₁,dots,xₙ]=sumk=1^n g[x₁,dots,xk],h[xk,dots,xₙ],
f[x₀,dots,xn-1]=sumk=0^n-1 g[x₀,dots,xk],h[xk,dots,xn-1]

Passo 6

Substituindo essas somas em f[x₀,\dots,xₙ] obtém-se
f[x₀,dots,xₙ]=1xₙ-x₀l(sumk=1^n g[x₁,dots,xk]h[xk,dots,xₙ]-sumk=0^n-1g[x₀,dots,xk]h[xk,dots,xn-1]r)
Reindexando a primeira soma pelo índice j=k-1, ambas passam a ter j de 0 a n-1.

Passo 7

Para cada j consideramos o termo
g[x₁,dots,xj+1]h[xj+1,dots,xₙ]-g[x₀,dots,xj]h[xj,dots,xn-1]
Usando
g[x₁,dots,xj+1]-g[x₀,dots,xj]=(xj+1-x₀)g[x₀,dots,xj+1],
h[xj+1,dots,xₙ]-h[xj,dots,xn-1]=(xₙ-xj)h[xj,dots,xₙ],
esse termo vira
(xj+1-x₀)g[x₀,dots,xj+1]h[xj+1,dots,xₙ]+(xₙ-xj)g[x₀,dots,xj]h[xj,dots,xₙ]

Passo 8

Dividindo por (xₙ-x₀) e somando j=0,…,n-1, a parte com g[x₀,…,x_j]h[x_j,…,xₙ] recebe coeficiente (xₙ-x_j)/(xₙ-x₀) e a parte com g[x₀,…,x_{j+1}]h[x_{j+1},…,xₙ] recebe (x_{j+1}-x₀)/(xₙ-x₀). Mudando índice k=j+1 na segunda soma e combinando tudo, cada g[x₀,…,x_k]h[x_k,…,xₙ] aparece com coeficiente 1.

Passo 9

Concluímos então que
f[x₀,dots,xₙ]=sumk=0^n g[x₀,dots,xk],h[xk,dots,xₙ]

Resposta

f[x₀,dots,xₙ]=sumk=0^n g[x₀,dots,xk],h[xk,dots,xₙ]

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