Calcular ln (4.7) usando interpolação sobre três pontos igualmente espaçados. Determine um limitante superior para o erro.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar ln(4.7) usando interpolação polinomial de grau 2 em três pontos igualmente espaçados e estimar um limitante superior para o erro. O conteúdo aqui é interpolação de Lagrange e o termo de resto (erro) associado. Vamos usar os pontos x0=4, x1=5, x2=6, pois estão igualmente espaçados com h=1 e cercam 4.7.

Passo 2

Precisamos dos valores de f(x)=ln(x) em cada ponto:
f(4)=ln(4)approx1.386294, f(5)=ln(5)approx1.609438, f(6)=ln(6)approx1.791759

Passo 3

Agora montamos o polinômio de Lagrange de grau 2 e avaliamos em x=4.7. As bases são:
L0(4.7)=(4.7-5)(4.7-6)(4-5)(4-6)=(-0.3)(-1.3)(-1)(-2)=0.195,
L1(4.7)=(4.7-4)(4.7-6)(5-4)(5-6)=(0.7)(-1.3)1cdot(-1)=0.91,
L2(4.7)=(4.7-4)(4.7-5)(6-4)(6-5)=(0.7)(-0.3)2cdot1=-0.105

Passo 4

O valor aproximado fica
P2(4.7)=f(4)L0+f(5)L1+f(6)L2approx1.386294cdot0.195+1.609438cdot0.91+1.791759cdot(-0.105)approx1.5468

Passo 5

Para o erro usamos o termo de resto de grau 2:
R2(x)=f^(3)(xi)3!(x-4)(x-5)(x-6),

Passo 6

onde f^(3)(x)=2/x^3. No intervalo [4,6], o máximo de |f^(3)(x)| ocorre em x=4, dando
M=max|f^(3)|=24^3=132=0.03125

Passo 7

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|R2(4.7)|<=M3!l|0.7cdot(-0.3)cdot(-1.3)r|=1/326cdot0.273approx0.00142

Resposta

ln(4.7)approx1.5468 com limitante superior de erro 0.00142.

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