Durante três dias consecutivos foi tomada a temperatura, em ^circ C, numa região de uma determinada cidade, por quatro vezes no período das 6 às 12 horas. Determinar, usando interpolação e todos os dados da tabela abaixo, a média das temperaturas dos três dias às 9 horas.
dias
horas 1 2 3
6 18 17 18
8 20 20 21
10 24 25 22
12 28 27 23

Passo 1

Vamos interpolar as temperaturas em função do horário para cada dia e depois calcular a média em 9 h. O conteúdo é interpolação polinomial (método de Newton com diferenças divididas) aplicado aos pontos (6, T₆), (8, T₈), (10, T₁₀), (12, T₁₂) de cada dia.

Passo 2

No método de diferenças divididas de Newton construímos o polinômio
P(t)=T6+f[6,8],(t-6)+f[6,8,10],(t-6)(t-8)+f[6,8,10,12],(t-6)(t-8)(t-10)
onde cada f[…] é uma diferença dividida calculada a partir dos pares (hora, temperatura).

Passo 3

Para o dia 1 temos os pares (6,18), (8,20), (10,24), (12,28). As diferenças divididas são:
f[6,8]=20-188-6=1, f[8,10]=2, f[10,12]=2,
f[6,8,10]=2-110-6=0.25, f[8,10,12]=2-212-8=0,
f[6,8,10,12]=0-0.2512-6=-0.0416667
Então
P1(t)=18+1, (t-6)+0.25,(t-6)(t-8)-0.0416667,(t-6)(t-8)(t-10)
Substituindo t=9:
T1(9)=18+1cdot3+0.25cdot3cdot1-0.0416667cdot3cdot1(-1)=21.875

Passo 4

Para o dia 2 temos (6,17), (8,20), (10,25), (12,27). As diferenças divididas:
f[6,8]=1.5,;f[8,10]=2.5,;f[10,12]=1,
f[6,8,10]=0.25,;f[8,10,12]=-0.375,
f[6,8,10,12]=-0.1041667
Logo
P2(t)=17+1.5(t-6)+0.25(t-6)(t-8)-0.1041667(t-6)(t-8)(t-10)
Em t=9:
T2(9)=17+1.5cdot3+0.25cdot3cdot1+0.1041667cdot3cdot1=22.5625

Passo 5

Para o dia 3 temos (6,18), (8,21), (10,22), (12,23). As diferenças divididas:
f[6,8]=1.5,;f[8,10]=0.5,;f[10,12]=0.5,
f[6,8,10]=-0.25,;f[8,10,12]=0,
f[6,8,10,12]=0.0416667
Então
P3(t)=18+1.5(t-6)-0.25(t-6)(t-8)+0.0416667(t-6)(t-8)(t-10)
Em t=9:
T3(9)=18+1.5cdot3-0.25cdot3cdot1-0.0416667cdot3cdot1=21.625

Passo 6

Agora calculamos a média das três temperaturas em 9 h:
overline T(9)=21.875+22.5625+21.6253=22.0208333,^circC

Resposta

A média interpolada das temperaturas às 9 h nos três dias é aproximadamente 22.0208 °C.

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