A partir de uma linha reta, próxima a uma das margens de um rio, foram medidas distâncias, em metros, entre esta linha reta e as duas margens de um rio de 15 em 15 metros, a partir de um ponto tomado como origem. Tais dados foram registrados conforme tabela abaixo:
c|ccccc $x$ & 0 & 15 & 30 & 45 & 60 hline(y(M1)) & 50.00 & 86.00 & 146.00 & 73.50 & 50.00 hline(y(M2)) & 112.50 & 154.50 & 195.00 & 171.00 & 95.50 0 15 30 45 60
10,20,40 50.00 86.00 146.00 73.50 50.00
112.50 154.50 195.00 171.00 95.50
Usando interpolação e os dados acima, determinar o valor aproximado da largura do rio nos pontos e 50 metros da origem, tomados em linha reta.

Passo 1

O enunciado nos dá as distâncias das margens do rio a partir de uma linha reta, em cinco pontos (x=0,15,30,45,60), para as duas margens M₁ e M₂. Queremos estimar a largura do rio (distância entre M₂ e M₁) nos pontos x=10,20,40 e 50 usando interpolação linear.

Passo 2

Para x=10, interpolamos entre x=0 e x=15. Para a margem M₁ temos
y1(10)=y1(0)+l(y1(15)-y1(0)r)10-015-0 =50+ (86-50)1015=50+36cdottfrac23=74
E para M₂:
y2(10)=112.5+ (154.5-112.5)1015=112.5+42cdottfrac23=140.5
Logo a largura é 140.5−74=66.5.

Passo 3

Para x=20, interpolamos entre x=15 e x=30. Para M₁:
y1(20)=86+ (146-86)20-1530-15=86+60cdottfrac515=86+20=106
Para M₂:
y2(20)=154.5+ (195-154.5)515=154.5+40.5cdottfrac13=168
Logo a largura é 168−106=62.

Passo 4

Para x=40, interpolamos entre x=30 e x=45. Para M₁:
y1(40)=146+ (73.5-146)40-3045-30=146-72.5cdottfrac1015=146-48.3333approx97.67
Para M₂:
y2(40)=195+ (171-195)1015=195-24cdottfrac23=179
Logo a largura ≈179−97.67=81.33.

Passo 5

Para x=50, interpolamos entre x=45 e x=60. Para M₁:
y1(50)=73.5+ (50-73.5)50-4560-45=73.5-23.5cdottfrac515=73.5-7.8333approx65.67
Para M₂:
y2(50)=171+ (95.5-171)515=171-75.5cdottfrac13=145.83
Logo a largura ≈145.83−65.67=80.17.

Resposta

Larguras aproximadas do rio:
x=10 m: 66.50 m
x=20 m: 62.00 m
x=40 m: 81.33 m
x=50 m: 80.17 m

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