Sabendo-se que a função f(x)=x-e^-x admite uma raiz no intervalo [ 0,2 , determine o valor desta raiz usando um polinômio de interpolação sobre três pontos. Estime o erro cometido.

Passo 1

O enunciado pede para achar a raiz de f(x)=x−e^{−x} em [0,2] aproximando-a por um polinômio interpolador de grau 2 (três pontos) e estimar o erro. Vamos usar interpolação de Lagrange e depois ver o resto.

Passo 2

Escolhemos os três pontos extremos do intervalo: x₀=0, x₁=1 e x₂=2. Calculamos os valores de f em cada um:
f(0)=0−e^0=−1, f(1)=1−e^−1, f(2)=2−e^−2

Passo 3

Montamos o polinômio de Lagrange p(x)=∑f(x_i)·L_i(x), onde
L0(x)=(x−1)(x−2)(0−1)(0−2)=(x−1)(x−2)2, L1(x)=x(x−2)(1−0)(1−2)=−x(x−2),
L2(x)=x(x−1)(2−0)(2−1)=x(x−1)2
Substituindo f(x_i) em p(x) e simplificando, obtemos a forma quadrática
−0.3993x^2+3.6638x−2=0

Passo 4

Resolvendo essa equação quadrática por Bhaskara, achamos duas raízes, mas só uma está em [0,2]:
x≈0.5845

Passo 5

Para estimar o erro usamos o termo de resto de Lagrange de ordem 2:
R2(x)=f^(3)(ξ)3!(x−x0)(x−x1)(x−x2),
como f{(3)}(x)=e{−x}≤1 em [0,2], temos
|R2(x)|≤16|x(x−1)(x−2)|
Em x≈0.5845, isso dá |R_2|≲0.0573. Convertendo em erro na raiz via |Δx|≈|R_2|/min|f’(x)|≈0.0573/1.5576≈0.018.

Passo 6

Concluímos que a aproximação da raiz é x≈0.5845 com erro estimado em torno de 1.8×10^{-2}.Caso queira mais precisão, usar pontos mais próximos da raiz ou métodos iterativos.

Resposta

x≈0.5845 com erro estimado ≲1.8×10^(−2)

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