Sabendo-se que a função
admite uma raiz no intervalo [ 0,2 , determine o valor desta raiz usando um polinômio de interpolação sobre três pontos. Estime o erro cometido.
Passo 1
O enunciado pede para achar a raiz de f(x)=x−e^{−x} em [0,2] aproximando-a por um polinômio interpolador de grau 2 (três pontos) e estimar o erro. Vamos usar interpolação de Lagrange e depois ver o resto.
Passo 2
Escolhemos os três pontos extremos do intervalo: x₀=0, x₁=1 e x₂=2. Calculamos os valores de f em cada um:
Passo 3
Montamos o polinômio de Lagrange p(x)=∑f(x_i)·L_i(x), onde
Substituindo f(x_i) em p(x) e simplificando, obtemos a forma quadrática
Passo 4
Resolvendo essa equação quadrática por Bhaskara, achamos duas raízes, mas só uma está em [0,2]:
Passo 5
Para estimar o erro usamos o termo de resto de Lagrange de ordem 2:
como f{(3)}(x)=e{−x}≤1 em [0,2], temos
Em x≈0.5845, isso dá |R_2|≲0.0573. Convertendo em erro na raiz via |Δx|≈|R_2|/min|f’(x)|≈0.0573/1.5576≈0.018.
Passo 6
Concluímos que a aproximação da raiz é x≈0.5845 com erro estimado em torno de 1.8×10^{-2}.Caso queira mais precisão, usar pontos mais próximos da raiz ou métodos iterativos.
Resposta
x≈0.5845 com erro estimado ≲1.8×10^(−2)