Dada a função
pede-se:
(a) Determine o polinômio interpolador de Lagrange na variável
de grau 2, que aproxima a função
no intervalo
e, um limitante superior para o erro.
(b) Obter o valor aproximado da integral de
no intervalo [1, 2], usando o polinômio obtido em (a).
(a) Determine o polinômio interpolador de Lagrange na variável
(b) Obter o valor aproximado da integral de
Passo 1
A questão pede o polinômio de Lagrange de grau 2 para aproximar f(x)=
em [1,2], mas escrito como P₂(u) numa variável u que varia de 0 a 1, e um limitante superior do erro. Depois usar esse polinômio para aproximar ∫₁²f(x)dx.
Passo 2
Escolhemos os três pontos igualmente espaçados em x: x₀=1, x₁=3/2, x₂=2. Definimos u=x–1, de modo que u₀=0, u₁=1/2, u₂=1. Calculamos os valores: f(1)=7/3, f(3/2)=3 e f(2)=3,5.
Passo 3
Para construir o polinômio, montamos as bases de Lagrange em u:
$$ℓ₂(u)=\frac{u(u-\tfrac12)}{(1-0)(1-\tfrac12)}=2u(u-\tfrac12).
$$
Passo 4
O polinômio fica
$$P₂(u)=\frac{7}{3}ℓ₀(u)+3ℓ₁(u)+3.5ℓ₂(u).
$$
Passo 5
Para o erro usamos a forma geral
$$R₂(x)=\frac{f^{(3)}(ξ)}{3!}(x-1)(x-\tfrac32)(x-2).
$$
Passo 6
Para aproximar a integral trocamos x= u+1 e dx=du, com u de 0 a 1. Integramos P₂(u):
$$\int_01\Big(-\tfrac13u2+\tfrac32u+\tfrac73\Big)du=-\tfrac{1}{9}+\tfrac{3}{4}+\tfrac{7}{3}\approx2.9722.
$$
Resposta
Polinômio: P₂(u)=
Erro máximo:
Integral aproximada: