Dada a função f(x)=7 x2+x pede-se:
(a) Determine o polinômio interpolador de Lagrange na variável u de grau 2, que aproxima a função f(x) no intervalo [1,2] e, um limitante superior para o erro.
(b) Obter o valor aproximado da integral de f(x) no intervalo [1, 2], usando o polinômio obtido em (a).

Passo 1

A questão pede o polinômio de Lagrange de grau 2 para aproximar f(x)= 7x/(2+x) em [1,2], mas escrito como P₂(u) numa variável u que varia de 0 a 1, e um limitante superior do erro. Depois usar esse polinômio para aproximar ∫₁²f(x)dx.

Passo 2

Escolhemos os três pontos igualmente espaçados em x: x₀=1, x₁=3/2, x₂=2. Definimos u=x–1, de modo que u₀=0, u₁=1/2, u₂=1. Calculamos os valores: f(1)=7/3, f(3/2)=3 e f(2)=3,5.

Passo 3

Para construir o polinômio, montamos as bases de Lagrange em u:
ℓ₀(u)=(u-tfrac12)(u-1)(0-tfrac12)(0-1)=2(u-tfrac12)(u-1),
ℓ₁(u)=u(u-1)(tfrac12-0)(tfrac12-1)=-4u(u-1),
$$ℓ₂(u)=\frac{u(u-\tfrac12)}{(1-0)(1-\tfrac12)}=2u(u-\tfrac12).
$$

Passo 4

O polinômio fica
$$P₂(u)=\frac{7}{3}ℓ₀(u)+3ℓ₁(u)+3.5ℓ₂(u).
P₂(u)=73ℓ₀(u)+3ℓ₁(u)+3.5ℓ₂(u) P₂(u)=-\tfrac{1}{3}u^2+\tfrac{3}{2}u+\tfrac{7}{3}.
$$

Passo 5

Para o erro usamos a forma geral
$$R₂(x)=\frac{f^{(3)}(ξ)}{3!}(x-1)(x-\tfrac32)(x-2).
R₂(x)=f^(3)(ξ)3!(x-1)(x-tfrac32)(x-2) áúá½é|R₂|\le\frac{84/81}{6}\cdot0.04799\approx8.3\times10^{-3}.
$$

Passo 6

Para aproximar a integral trocamos x= u+1 e dx=du, com u de 0 a 1. Integramos P₂(u):
$$\int_01\Big(-\tfrac13u2+\tfrac32u+\tfrac73\Big)du=-\tfrac{1}{9}+\tfrac{3}{4}+\tfrac{7}{3}\approx2.9722.
$$

Resposta

Polinômio: P₂(u)= -tfrac13u^2+tfrac32u+tfrac73
Erro máximo: |R₂|<=8.3times10^-3
Integral aproximada: integral1^2f(x)dxapprox2.9722

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